Не могу сказать, что я любитель давать ряд ответов на один и тот же вопрос, но почему то в последнее время так и происходит.
Размышляя несколько на другие темы, я понял как решить эту задачу на школьном уровне. То есть без геометрических построений и расчетов, а пользуясь лишь стандартными формулами. Расчет получился в общем виде, что расширяет степень его применения.
И так, у нас есть правильная n-гранная пирамида, со стороной "а" и высотой "H". А также значение толщины стенки "s" и плотности материала "p".
Впишем в пирамиду сферу радиуса Rs. Ее радиус определится следующим образом.
Где "А" и "Rv" апофема и радиус вписанной в многоугольник основания окружности.
Возникает вопрос: "А какой максимальной толщины может быть стенка пирамиды?". Очевидно не больше Rs. Поскольку при такой толщине все внутренние стенки сойдутся в одну точку и объем пустоты пирамиды станет равен нулю.
Предположим, что мы взяли стенку какой то толщины "s". При этом получились две подобных пирамиды - наружная и внутренняя. Коэффициент подобия их линейных размеров составит (Rs-s)/Rs. В таком случае их объемы будут соотносится как куб коэффициента подобия.
Теоретический расчет закончен, вернемся к условию задачи. Опять же стандартная формула расчета высоты тетраэдра. Величину стороны примем равной 1.
Такой подход, с применением компьютерных возможностей, позволяет в считанные секунды получать ответ для любой правильной пирамиды с заданной толщиной стенки и материалом. При этом можно получать все промежуточные значения расчетов.
Так при "толщине стенки" s=0.204124145232*a, пустотелый тетраэдр превратится в монолит. Интуитивно несколько неожиданное значение.