1) Заметим, что, если в кучке осталось 2 спички, никому из игроков не выгодно брать из нее спичку, т.к. следующим ходом противник заберет оставшуюся спичку и победит. Тогда, если есть кучка с 1 спичкой, забираем спичку, если же есть спички числом спичек, большим 2, берем спичку из любой.
Если во всех кучках осталось по 2 спички, то было совершено 99*101=9999 ходов, а значит последнюю спичку в данный момент забрал начинающий. Тогда на 10000 ход второй вынужден забрать спичку из кучки с 2 спичками. А дальше игра оканчивается ничьей.
А значит ответ нет.
2) Заметим, что искомая сумма
.
И правда. Пусть
- сумма всех комбинаций по 1 ... по k элементов. Тогда ![P(k+1)=a_1+...+a_k+a_1a_2+...+a_1...a_k+a_{k+1}(1+a_1+...+a_k+a_1a_2+...+a_1...a_k)=(a_{k+1}+1)(a_1+...+a_k+a_1a_2+...+a_1...a_k)+a_{k+1}=(a_{k+1}+1)(P(k)+1)-1\\ P(1)=a_1=(a_1+1)-1](https://tex.z-dn.net/?f=P%28k%2B1%29%3Da_1%2B...%2Ba_k%2Ba_1a_2%2B...%2Ba_1...a_k%2Ba_%7Bk%2B1%7D%281%2Ba_1%2B...%2Ba_k%2Ba_1a_2%2B...%2Ba_1...a_k%29%3D%28a_%7Bk%2B1%7D%2B1%29%28a_1%2B...%2Ba_k%2Ba_1a_2%2B...%2Ba_1...a_k%29%2Ba_%7Bk%2B1%7D%3D%28a_%7Bk%2B1%7D%2B1%29%28P%28k%29%2B1%29-1%5C%5C%20P%281%29%3Da_1%3D%28a_1%2B1%29-1)
![(a_1+1)(a_2+1)...(a_{10}+1)-1<0\\ (a_1+1)(a_2+1)...(a_{10}+1)<1](https://tex.z-dn.net/?f=%28a_1%2B1%29%28a_2%2B1%29...%28a_%7B10%7D%2B1%29-1%3C0%5C%5C%20%28a_1%2B1%29%28a_2%2B1%29...%28a_%7B10%7D%2B1%29%3C1)
Т.к. числа отрицательны, то ![a_i+1\leq 0 \:\forall i](https://tex.z-dn.net/?f=a_i%2B1%5Cleq%200%20%5C%3A%5Cforall%20i)
Если хотя бы одно из
, вся сумма равна -1.
В остальных случаях
- всегда отрицательное. Но произведение 10 целых отрицательных чисел положительно, причем не меньше 1. Противоречие с тем, что
.
А тогда сумма могла равняться только -1