Если на оси z то ее координата имеет вид (0 0 z)
дальше считаем квадрат расстояния от точки А до (0 0 z) и от точки В до (0 0 z)
они равны по условию
2^2+1^2+(4-z)^2=3^2+0^2+(1-z)^2
5+(4-z)^2=9+(1-z)^2
5+16-8z+z^2=9+1-2z+z^2
11=6z
ответ (0;0;11/6)
1. Из треугольника АВД угол ВАД = 180 - (87 +40) = 53 (град)
2. Угол ВАД = АДС ( как углы при основании равнобедренной трапеции)
3. Угол ВСД = 180 - 53 = 127 (град)
Ответ: Угол ВСД = 127 градусов.
Можно решить иначе.
Угол ДВС = ДАВ (как накрест лежащие угла при параллельных прямых ВС и АД и секущей ВД = 40. Тогда угол АВС = 127, но он равен углу ВСД
Так что угол ВСД = 127 градусов
A = √c²-b² Рассмотрим прямоугольный треугольник и берем теорему пифагора
a = 4²-3²=7 длина
т.к. 3 ширина
периметр = 3+3+7+7 = 20
Треугольники ВОС и АОD подобны, так как <BOC=<AOC (вертикальные), а ВО/ОD=СО/ОА=1/3 (коэффициент подобия). В подобных треугольниках соответственные углы равны, то есть <BCA=<CAD, а это внутренние накрест лежащие углы при прямых ВС и АD и секущей АС. Следовательно, ВС параллельна АD и фигура АВСD - трапеция (АВ и СВ - не параллельны).
Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента их подобия.
Следовательно, Sboc/Saod=1/9.
Если окружность КАСАЕТСЯ отрезка DK и одновременно проходит через точку D,
значит точка D является ТОЧКОЙ КАСАНИЯ. По теореме о касательной и секущей: квадрат отрезка касательной от данной точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от данной точки до точек её пересечения с окружностью, то есть DK²=KC*KJ=15*24=360.
Итак, DK=√360=6√10. Найдем DC по теореме косинусов:
DC²=DK²+KC²-2*DK*KC*Cos(DKC). DC²=360+225-2*6√10*15*(1/5)√10=225. DC=15.
Следовательно, треугольник DCK равнобедренный (DC=KC) и значит
<CDK=<CKD(<JKD). То есть Cos(CDK)=(1/5)*√10.
Градусная мера <CDK равна половине градусной меры дуги DC (по свойству угла
между касательной и хордой, проведенной в точку касания), а градусная мера
центрального угла DOC равна градусной мере дуги DC. То есть <DOC=2*<CDK.
В нашем случае Cos(<CDK)=(1/5)*√10. Тогда
Sin(<CDK)=√(1-Cos²(<CDK))=√(1-10/25)=√(15/25)=(1/5)*√15.
По формуле приведения cos2a=cos²a-sin²a.
В нашем случае Cos(<DOC)=10/25-15/25=-5/25=-0,2.
В треугольнике ОDC по теореме косинусов
DC²=OD²+OC²-2*OD*OC*Cos(<DOC) или
225=2R²-2R²*(-0,2) или 225=2R²(1+0,2). Отсюда R²=225/2,4.
R= 15/√2,4≈9,677≈9,7.
Ответ: радиус проведенной окружности равен 9,7.
Второй вариант решения:
Продлим DO до пересечения с окружностью в точке М. Углы <DMC=<CDK (Так как оба опираются на одну дугу DC и равны половине ее градусной меры. <DMC - как вписанный, а <CDK - по свойству угла между касательной и хордой, проведенной в точку касания). Тогда Sin(DMC)=Sin(<CDK)=(1/5)*√15. (Найдено в первом варианте).
Но вписанный треугольник DMC прямоугольный, так как DM - диаметр. Тогда DM=DC/Sin(DMC) = 15/[(1/5)*√15]=5√15. DM - диаметр.
Значит радиус R=(5/2)*√15 ≈9,68≈9,7.
Ответ: радиус проведенной окружности равен (5/2)*√15.