Да точки А, В, С, D являются вершинами квадрата АВСD
Упростим функцию:
![y= \sqrt{ (\frac{1}{3- \sqrt{5}}- \frac{1}{3+ \sqrt{5}})* \frac{ \sqrt{5}+ \sqrt{45}}{10}}*x^2+2= \\ =\sqrt{ \frac{3+ \sqrt{5}-3+ \sqrt{5}}{9-5}* \frac{ \sqrt{5}+3 \sqrt{5}}{10}}*x^2+2= \\ = \sqrt{ \frac{2 \sqrt{5} }{4}* \frac{4 \sqrt{5} }{10}}*x^2+2= \sqrt{ \frac{40}{40}}*x^2+2= \sqrt{1}*x^2+2=x^2+2.](https://tex.z-dn.net/?f=y%3D+%5Csqrt%7B+%28%5Cfrac%7B1%7D%7B3-+%5Csqrt%7B5%7D%7D-+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%2B+%5Csqrt%7B5%7D%7D%29%2A+%5Cfrac%7B+%5Csqrt%7B5%7D%2B+%5Csqrt%7B45%7D%7D%7B10%7D%7D%2Ax%5E2%2B2%3D+%5C%5C+%0A+%3D%5Csqrt%7B+%5Cfrac%7B3%2B+%5Csqrt%7B5%7D-3%2B+%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B9-5%7D%2A+%5Cfrac%7B+%5Csqrt%7B5%7D%2B3+%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B10%7D%7D%2Ax%5E2%2B2%3D+%5C%5C+%0A%3D+%5Csqrt%7B+%5Cfrac%7B2+%5Csqrt%7B5%7D+%7D%7B4%7D%2A+%5Cfrac%7B4+%5Csqrt%7B5%7D+%7D%7B10%7D%7D%2Ax%5E2%2B2%3D+%5Csqrt%7B+%5Cfrac%7B40%7D%7B40%7D%7D%2Ax%5E2%2B2%3D+%5Csqrt%7B1%7D%2Ax%5E2%2B2%3Dx%5E2%2B2.+++++)
y=x²+2 - квадратичная парабола, которую можно построить путем сдвига функции у=х² на две единицы вверх вдоль оси OY.
у=х²:
х -3 -2 -1 0 1 2 3
у 9 4 1 0 1 4 9
у=х²+2:
х -3 -2 -1 0 1 2 3
у 11 6 3 2 3 6 11
График см. на рисунке.
Свойства:1) Область определения: D=R.
2) Область значений: Е=[2;+∞).
3) Значение у=2 является наименьшим, наибольшего нет.
4) Функция чётная.
5) Функция непериодическая.
6) Точек пересечения с осью ОХ нет, т.е. нулей не имеет.
7) Точка пересечения с осью OY (0;2).
8) На промежутке (-∞;0] функция убывает, на промежутке [0;+∞) функция возрастает.
9) На всей области определения, т.е. на R функция принимает положительные значения.
Если функция нечётная, то
f(- 2) = - f(2) = - 1
f(- 1) = - f(1) = - (- 1) = 1
f(0) = - 3
![\frac{f(- 2)+f(-1)}{f(0)}= \frac{-1+1}{-3} =0](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7Bf%28-+2%29%2Bf%28-1%29%7D%7Bf%280%29%7D%3D+%5Cfrac%7B-1%2B1%7D%7B-3%7D+%3D0+)
Корень один, если дискриминант равен нулю.
![D=n^2 -4*3*5 =n^2 - 60](https://tex.z-dn.net/?f=D%3Dn%5E2+-4%2A3%2A5+%3Dn%5E2+-+60)
Приравняем к нулю
![n^2 - 60 = 0\\ n^2 = 60\\ n_1 = \sqrt{60} \ \ \ \ \ n_2 = - \sqrt{60}](https://tex.z-dn.net/?f=n%5E2+-+60+%3D+0%5C%5C%0An%5E2+%3D+60%5C%5C%0An_1+%3D++%5Csqrt%7B60%7D+%5C+%5C+%5C+%5C+%5C+n_2+%3D+-+%5Csqrt%7B60%7D+)
Ответ:
![n = б \sqrt{60}](https://tex.z-dn.net/?f=n+%3D+%D0%B1+%5Csqrt%7B60%7D+)
Число 11 простое значит у него есть всего 2 делителя, а значит и 2 целых значения x при которых значение выражения целое: 11 и 1. x-3=11 => x=14, x-3=1 => x=4. Подставляем находим значение выражения.