В олимпиаде Заврики данное задание не из простых, особенно это, для учеников четвёртых классов. Мне взрослому пришлось изрядно попотеть, чтобы выполнить это задание правильно, то представляю сколько времени это задание займёт у детей.
Но т.к я его выполнила, хочу поделиться своим решением.
Ниже представлены картинки, каким именно образом, я складывала лист,чтобы дырочки получилось в строго отведёном месте.
Итак начнём, сначала нужно сложить верхний край листа к центру по горизонтали.
Затем левый край сложить к центру по вертикали.
Далее нужно взять правый край листа и снова сложить также к центру листа.
Дальше берём дырокол и делаем два отверстия следующим образом:
В итоге разворачиваем лист и получаем тот результат, который нам нужен.
Мне это задание показалось несколько сложным. Здесь самое главное - это понять как окрашены грани. Получается, что в каждый цвет (бордовый, голубой, желтый) окрашены по две грани объемной фигуры (параллелепипеда).
Дальше следует внимательно изучить их отражения в зеркале, выбрать единственно возможный цвет граней трех параллелепипедов, отраженных в зеркале.
Итак на левом отражении цвета граней трех фигур будут располагаться в таком порядке (слева направо): желтый, бордовый, голубой.
На правом отражении цвета граней будут располагаться в следующем порядке (слева направо): голубой, желтый, бордовый.
Обозначим центр меньшей окружности точкой О1, большей - точкой О2. Через точки АО2 проведём прямую (осевую линию). Точки К и О1 тоже лежат на этой линии. Угол между осевой и касательной (будем рассматривать верхнюю) назовём альфа (а). Проведём из точки О1 прямую, параллельную касательной, до пересечения с начерченной линией радиуса R. Точку пересечения обозначим М.
Очевидно, что угол МО1О2 равен альфа. Из треугольника О1МО2 получаем sin(a)=(R-r)/(R+r)=1/27.
Из подобия треугольников О1МО2 и треугольников, образованных отрезками касательной и соответствующих радиусов получаем АО1=39*27, АО0-42*27, АК=39*27+39=42*27-42=39*28=42*26=1092.
Из треугольника АВК получаем АВ=АК/cos(a).
Обозначим центр описанной вокруг треугольника АВС окружности О. Соединим точку О с точками А и В.
Искомый радиус АО=ОВ=(АВ/2)/cos(a)=АК/(2*cos^2(a)).
Подставляя значения получаем искомый радиус равен 1092/(2*(1-(1/27)^2)=546*729/728=3*729/4=3^7/4=546,75.
При решении, конечно можно было бы обойтись и без привлечения тригонометрических функций, для решения задачи достаточно соотношения соответственных сторон подобных треугольников, но с привлечением тригонометрических функций выкладки выглядят намного компактнее.
Лучи света, прошедшие через две точки, на высоте 9 и 18 километров, оставят след на поверхности спутника. Это дает нам возможность рассмотреть два треугольника с вершинами в центре спутника (точка О). Треугольники OTG и Otg
Рассмотрим в более крупном масштабе .
Все стороны треугольников нам известны. Более того, лучи света, пришедшие со столь далекого расстояния, будут параллельны между собой. Значит отрезки GT и gt параллельны между собой и составят с вертикалью одинаковый угол. Выразим этот угол из теоремы косинусов для двух треугольников и приравняем выражения.
"Х" заменяет R, а "m" коэффициент увеличения высоты горы. В данном случае он равен двум.
В результате преобразования, уравнение примет вид:
Ближайший по размеру спутник Урана это Титания.
Несмотря на простое решение, задача очень интересна и своеобразна. В этом можно убедиться при изменении исходных параметров задания. Математическая модель ведет себя несколько неожиданно и даже выдает "пятое измерение".
Ссылка на макет.
Народ, может больше не будем выяснять отношения. Евклид уже давно решил эту задачу.
И вообще, если задача сводится к вычислению рациональных выражений или извлечению квадратного корня, то она решается построением с помощью циркуля и линейки.
