Question

Как решить олимпиадную задачу по математике про мышек и кошек(см.)?

Вокруг миски с молоком сидят 8 зверей: кошки и мышки. Сколько может быть мышек, если выполняются оба условия?

1. Есть мышка, окружённая с двух сторон мышками.
2. Нет кошек, окружённых с двух сторон кошками.

Даны варианты ответов: 1,2,3,4,5,6,7.

Answer 1

Условие задачи можно перефразировать:

1. должны быть 3 мышки сидящие по кругу друг за другом,
2. кошки сидят по одной или по две подряд.

Сколько же может быть мышек?

1 и 2 сразу отметаем потому, что в этом случае не выполняется первое условие;

3 тоже не может быть: все 3 мышки сидят подряд и остаётся 5 кошек, которых, ну, никак не получится рассадить, чтобы выполнялось второе условие;

если же мышек 4, то зверушек уже можно рассадить: 3 мышки подряд, чтобы выполнялось первое условие, следом 2 кошки, потом 1 мышка и ещё 2 кошки. Впрочем, начинать рассаживание можно с любого животного из этой последовательности, а не обязательно с трёх мышек, к примеру, вот такой вариант:

2 мышки, 2 кошки, 1 мышка, 2 кошки, 1 мышка;

если мышек 5, то опять же есть способы рассадить наших зверушек, к примеру, так:

3 мышки, 1 кошка, 2 мышки, 2 кошки;

если мышек 6, животных снова можно будет рассадить по правилам, к примеру, таким способом:

3 мышки, 1 кошка, 3 мышки, 1 кошка;

ну, и, наконец, 7 мышек и 1 кошку можно рассадить так, чтобы не нарушить условия задачи и начинать можно с кого угодно - кошка-то всё равно одна, к примеру,

3 мышки, 1 кошка и ещё 4 мышки.

В общем, задача имеет решение, если мышек 4, 5, 6 или 7.

Answer 2

Сколько может быть мышек?

Согласно первому условию, три мышки мы уже имеем. Остаётся пять зверушек.

По краям трёх мышек подряд должно сидеть по кошке как минимум. Значит, остается три зверушки.

Так как трёх кошек подряд быть не может, то среди оставшихся зверушек может быть ещё одна или две мышки.

Мой ответ: если выполняются оба условия, то мышек может быть четыре или пять.

Нет, ошибаюсь...

В условии сказано, что одна мышка окружена мышками, а сколькими, не указано. Поэтому мышек может быть от четырёх до семи.

Answer 3

Есть мышка, окруженная с двух сторон мышками: МММ.

Нет кошки, окруженной с двух сторон кошками: нет ККК. Значит, кошек не больше двух подряд: КК.

Может быть так: МММККМКК - 4 мышки и 4 кошки.

А может быть так: МММКМКМК - 5 мышек и 3 кошки.

Если должна быть только одна мышка, окруженная со всех сторон мышками, то максимум 5 мышек.

Если их может быть больше одной, то возможны еще варианты:

МММКМММК - 6 мышек и 2 кошки.

ММММКМММ - 7 мышек и 1 кошка.

Answer 4

Если есть мышка, окруженная с двух сторон мышками, значит минимум три мышки сидят рядом, подряд. Но кошек в таком положении не наблюдается, что говорит о том, что сидят кошки минимум через мышку друг от друга.

Учитывая, что 3 мышек мы должны посадить рядом, остается еще только 5 (8 - 3) животных, которых как-то следует рассадить. Сколько мышек и кошек может быть, в задаче никакими условиями, кроме указанных выше, не определено. Однако я склонен считать, что в условиях про окруженную мышку речь идет ТОЛЬКО ОБ ОДНОЙ такой мышке, то есть больше никакая мышка не окружена мышками с двух сторон.

Тогда по сторонам от 3-х мышек должны в обязательном порядке сидеть кошки, а по другой бок этих кошек опять следует посадить мышек. Таким образом мы распределили 7 животных (3 мышки, два раза по 1 кошки и еще две мышки с этими кошками). У нас остается одно животное, которое, замыкая круг, вынуждено сесть между двумя мышками. По условиям задачи это может быть только кошка.

Таким образом, имеем 3 мышки, 2 кошки, еще 2 мышки и 1 кошку. Мышек всего 5 (3 + 2).

Ответ: вокруг миски сидят 5 мышек.

Answer 5

По первому условию как минимум три мышку уже есть.

Ну, а дальше идут варианты.

а) Остальные кошки, тогда мышек только три

б) Есть ещё одна мышка, сидящая между двух кошек, итого - мышек четыре

в) Есть две кошки, сидящие рядом, остальные - мышки, всего шесть.