Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство
Дано:
2 треугольника, АВС и А1В1С1, AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1
Требуется доказать, что треугольники АСВ и А1В1С1 равны.
Для начала необходимо «наложить» данные треугольники друг на друга таким образом – чтобы точка А совпала с точкой А1, точка В с точкой В1, а точки С и С1 оказались по разные стороны от прямой А1В1.
Три возможных случая при наложении треугольников
<span><span>Луч С1С расположен внутри угла А1С1В1.
</span><span>Луч С1С накладывается на одну из сторон данного угла.
</span><span> Луч С1С расположен вне угла А1С1В1.
</span></span>
Доказательства равенства треугольников для трех возможных случаев
Первый случай
Луч С1С расположен внутри угла А1С1В1.
Доказательство:
<span><span>Рассмотрим треугольники В1С1С и АС1С.
</span><span>По условию стороны АС=А1С1, ВС=В1С1, следовательно, треугольники В1С1С и А1С1С – равнобедренные.</span><span>Вспомнив, что углы при основании равнобедренных треугольников равны (свойство равнобедренного треугольника), получаем:
∠АСС1 = ∠А1С1С,
∠ВСС1 = ∠В1С1С.
</span><span>Поскольку
∠ACB = ∠ACC1 + ∠BCC1,
∠AC1B = ∠AC1C + ∠BC1C,
то и углы AСB и AС1B равны. </span><span>
Так как ВС = В1С1, АС = А1С1 и ∠AСB = ∠AС1B, можно утверждать, что треугольники АВС и А1В1С1 равны согласно первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).</span></span>
Что и требовалось доказать
Второй случай
Луч С1С накладывается на одну из сторон этого угла.
Доказательство:
<span><span>Рассмотрим треугольник САС1.
</span><span>Согласно условию теоремы, в треугольнике САС1 стороны АС и А1С1 равны, следовательно, сам треугольник САС1 - равнобедренный.</span><span>По аналогии с доказательством первого случая (пункты 3-5): так как треугольник САС1 равнобедренный, то углы при его основании (СС1) равны, то есть ∠С = ∠С1 . Отсюда следует, что треугольники АВС и А1В1С1 равны по двум сторонам и углу между ними.</span></span>
Что и требовалось доказать.
Третий случай
Луч С1С расположен вне угла А1С1В1.
Доказательство:
<span><span>Рассмотрим полученный треугольник ВСС1.
</span><span>По условию, стороны В1С1 и ВС – равны, следовательно, треугольник В1С1С – равнобедренный, а значит, что углы BСD и BС1D равны.</span><span>Рассмотрим треугольник АСС1.</span><span>Согласно условию, стороны АС и А1С1 – равны, отсюда следует, что треугольник АСС1 – равнобедренный и углы при его основании равны (∠DC1A = ∠DCA).</span><span>∠DCA = ∠DCB + ∠ACB, а ∠DC1A = ∠DC1B + ∠AC1B.</span><span>Поскольку ∠DC1A = ∠DCA и ∠BСD = ∠BС1D, то отсюда следует, что и углы ∠АСВ и ∠АС1В равны.</span><span>Исходя из вышенаписанного можно сделать вывод, что треугольники АВС и А1В1С1 равны по двум сторонам и углу между ними.</span></span>
Что и требовалось доказать.