Question

Помогите пожалуйста 20.14 б, г

Answer 1

Б) $(2sinx-cosx)(1+cosx)=sin^{2}x$ - раскрыть скобки
$2sinx-cosx+2sinx*cosx-cos^{2}x-sin^{2}x=0$ - привести подобные
$2sinx-cosx+2sinx*cosx-(cos^{2}x+sin^{2}x)=0$
$2sinx-cosx+2sinx*cosx-1=0$
$(2sinx+2sinx*cosx)-(cosx+1)=0$ - перегруппировали
$2sinx*(1+cosx)-(cosx+1)=0$
$(2sinx-1)*(1+cosx)=0$
$2sinx-1=0$
$sinx=0.5$
$x= \frac{ \pi }{6}+2 \pi k$, k∈Z 
$x= \frac{5\pi }{6}+2 \pi k$, k∈Z
$cosx=-1$
$x=\pi+2 \pi k$, k∈Z
Чтобы найти корни, принадлежащие указанному промежутку, нужно найти такие k:
$- 2\pi \leq \pi+2 \pi k \leq 0$
$-1 \leq 2 \pi k \leq 0$
$0 \leq k \leq 1$, k=-1, 0
$x=\pi-2 \pi=- \pi$
$x= \pi$

$- \pi \leq \frac{ \pi }{6}+2 \pi k \leq \pi$
$-\frac{ 7\pi }{6} \leq 2 \pi k \leq \frac{ 5\pi }{6}$
$-\frac{ 7}{12} \leq k \leq \frac{ 5}{12}$, k=0
$x= \frac{ \pi }{6}$

$- \pi \leq \frac{ 5\pi }{6}+2 \pi k \leq \pi$
$- \frac{11}{12} \leq k \leq \frac{1}{12}$, k=0
$x= \frac{5 \pi}{6}$

Сумма всех корней: $\frac{5 \pi}{6}+ \pi - \pi +\frac{\pi}{6}= \pi$- ответ

г) $tg2x*sinx+ \sqrt{3}*(sinx- \sqrt{3}*tg2x)=3 \sqrt{3}$
$tg2x*sinx+ \sqrt{3}*sinx- 3tg2x=3 \sqrt{3}$
$(tg2x*sinx-3tg2x)+(\sqrt{3}*sinx-3 \sqrt{3})=0$
$tg2x*(sinx-3)+\sqrt{3}(sinx-3)=0$
$(tg2x+\sqrt{3})*(sinx-3)=0$
$tg2x+\sqrt{3}=0$
$tg2x=-\sqrt{3}$
$2x= -\frac{ \pi }{3}+ \pi k$
$x=-\frac{ \pi }{6}+ \frac{\pi k}{2}$
$sinx=3>1$ - нет решений.
$- \pi \leq -\frac{ \pi }{6}+ \frac{\pi k}{2} \leq \pi$
$-\frac{5\pi}{6} \leq \frac{\pi k}{2} \leq \frac{7 \pi }{6}$
$-\frac{5}{3} \leq k \leq \frac{7}{3}$, k=-1, 0, 1, 2
$x=-\frac{ \pi }{6}- \frac{\pi}{2}=-\frac{4\pi}{6}=-\frac{2\pi}{3}$
$x=-\frac{ \pi }{6}$
$x=-\frac{ \pi }{6}+ \frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{3}$
$x=-\frac{ \pi }{6}+ \frac{2\pi}{2}=\frac{5\pi}{6}$
Сумма корней: $-\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}+\frac{5\pi}{6}=\frac{-4\pi-\pi+2\pi+5 \pi}{6}=\frac{2\pi}{6}=\frac{\pi}{3}$ - ответ