<span>«</span>С отключенным мозгом» :P(ANOL) +P(NBMO) +P(OMCK) +P(LORD) =2(AN+AL) +2(NB+BM)+2(MC+CK) +2(KD+LD)=
=2(AN +NB + BM +MC +CK+KD+AL+LD) =2(AB +BC +CD +DA) =2P(ABCD) =2*46 см =92 см .
рассмотрим треугольник АВС с основанием АВ
Проведем биссектриссу СD
Треугольники АСD=DCB ( CD-общая, и там 2 угла равны)
значит АС=СВ
Рассмотрим у тетраэдра АВСК основание АВС и боковую грань КВС. Обозначим О - центр основания, Р - центр грани КВС.
Все грани - правильные треугольники. Поэтому, высота основания АА1, проведенная из А на ВС, пройдет через точку О. Очевидно, высота КА1 грани КВС проведенная из К пройдет через точку Р и попадет именно в А1 на ребре ВС. Как мы знаем, в правильном треугольнике центр делит высоту в отношении 1 к 2. Так что ОА1 равна (АА1)/3. Аналогично A1Р равна (КА1)/3 . Угол PA1O общий для треугольников КАА1 и А1ОР.
Значит КАА1 и А1ОР подобные с коэффициентом 1/3. Значит ОР=а/3, где а - длина ребра исходного тетраэдра.
Уф. Осталось применить формулу объема правильного тетраэдра V=(a3)*√3/12. Собственно важно только что объем зависит лишь от куба длины ребра.
V маленького равен тогда V большого поделить на три в кубе, то есть равен 40.5/27 = 1.5