ОD = 1/2 АС. Найдем ОD. ОD² = SD²-SО²= 100 - 36 = 64. ОD = 8
АС = 2ОD = 8 *2 = 16
<u>1) Рассмотрим рис.1</u> вложения
Трапеция равнобедренная, т.к.<em> в окружность можно вписать только равнобедренную трапецию. </em>
ВК=ВД по условию, АВ=СД как боковые стороны равнобедренной трапеции.
В окружности равные хорды опираются на равные дуги. .
Равные хорды ВК и ВД опираются на равные дуги, следовательно, на равные дуги опираются вписанные углы ВАК и ВСД.
<em>Вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны.</em><em> </em>
Вписанные углы АКВ и СВД опираются на равные дуги и потому равны.
В треугольниках АВК и СВД по два равных угла, следовательно, равны в них и углы АВК и ВДС ( на рисунке равные углы окрашены в одинаковый цвет).
В этих треугольниках между равным сторонами АВ = ДС и ВК = ВД содержатся равные углы - отсюда эти треугольники равны.
АК=ВС=4 см
--------------------------------------
2) Сделаем рисунок. Во вложении это рис.2
Пусть касательная к окружности будет МН, точка касания А, хорда, имеющая с касательной общую точку на окружности, АВ.
Проведем через центр окружности ещё одну хорду с общей точкой с касательной в точке А. Эта хорда - диаметр АС.
Угол САН - прямой ( диаметр к точке касания перпендикулярен касательной) и равен половине дуги АеВдС, которая равна 180 градусов
<u>Угол НАС равен сумме углов САВ и ВАН, </u> равен половине градусной меры дуги СдВеА и равен 90 градусам.
Дуга АеВдС равна сумме дуг ВдС и ВеА
Угол САВ, как вписанный, равен половине градусной меры дуги ВдС
Так как половины дуг АеВ и ВдС в сумме равны 90 градусам, угол НАВ равен половине градусной меры дуги АеВ, что и требовалось доказать.
Номер 1. 1)Т.к.
⇒
;
2)Т.к.
⊥
, то ∠
°,а судя по рисунку, прямые
и
параллельны, то
⊥
⇒ ∠
°
3)Эти треугольники прямоугольные и равны по двум катетам(или по двум сторонам и углу между ними(
)). Ч.т.д.
Номер 2. 1)Т.к. ∠1=∠2, то ∠ABD=∠CBD, как смежные с равные углами.
2)Рассмотрим ΔABD и ΔBDC:
1)AB=BC по условию;
2)∠ABD=∠CBD;
3)BD - общая.
Значит, ΔABD=ΔBDC по первому признаку равенства треугольников.
3)Т.к. ΔABD=ΔBDC, то ∠ADB=∠CDB.
Ч.т.д.
Сделаем рисунок.
Обозначим вершины треугольника А, В, С, середины сторон, к которым проведены медианы, К на АС, М-на ВС, точку их пересечения - О.
<em>Медианы треугольника точкой их пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
</em>Следовательно, <em>ВО=АО</em>, а оставшиеся части <em>ОМ=ОК</em>.
Углы при О треугольников ВОМ и КОА<u> равны как вертикальные. </u><em>Треугольники АОК и ВОМ равны по двум сторонам и углу между ними. </em><span><em>АК=ВМ.</em> Но эти отрезки - половины АС и ВС.
Следовательно, АС=ВС, и треугольник АВС, в котором две медианы равны, <em>равнобедренный.</em> </span>