Примеры привести затруднительно, но вот объяснить на пальцах, чем дискретная математика отличается от "просто" математики, математики, тысызыть, непрерывной, могу попробовать.
В непрерывной математике базовые объекты, с которыми она оперрует, вот тот самый икс, который подставляется во все функции, какие ни возьми, тот икс, с которого всё начинается, независимая переменная, - он любой. Да, для него может существовать область доспустимых значений (ну типа логарифм можно брать только от положительного числа, а арксинус можно считать только от чего-то, что в пределах плюс-минус 1...), но зато в этой области он сам себе хозяин. Чему захочет - тому и будет равен. Соответственно и функции тоже непрерывные (ну-у... большинство. За исключением каких-то совсем экзотических, типа функции Дирихле и прочих кунштюков).
И аппарат традиционной непрерывной математики вполне хорошо развит.
А теперь окунёмся в реальный мир, который всё больше и больше становится цифровым.
А чем цифровой мир отличается от мира аналогового, мира непрерывного икса? В первую очередь отсутствием непрерывности. Принципиальным отсутствием. Цифровой мир дискретен. В нём и независимая переменная, и, соответственно, функции от неё могут принимать только какой-то дискретный (счётный) ряд значений. Музыка? Пожалста вам музыка. 16 бит, 65536 возможных значений уровня сигнала, причём только каждые 1/44100 секунды, - и ни в чём себе не отказывайте. И это ещё много, в телевидении так вообще 8 бит на цвет, 256 уровней...
А ведь эти сигналы надо обрабатывать. Их надо фильтровать, например. Их надо преобразовывать по спектру (современные радиоприёмники все сплошь цифровые - при том, что выделение несущего сигнала из входного модулилированного синуса никто не отменял...). Ну и как прикажете делать преобразование Фурье и всю последующую фильтрацию для сигнала, определённого не от -пи до +пи, а на дискретном числе точек? Как прикажете умножать синус с антенны на синус с генератора, если синус с генератора синтезируется на цифровой микросхеме и результат преобразования для начала разговора поступает в DSP, а вовсе не на УПЧ?
Вот из всех этих чисто практических, заметьте, задач и возникла необходимость в специальном математическом аппарате, оптимизированном для анализа функций, заданных не на непрерывном множестве аргумента (непрерывный отрезок числовой оси, обычно времени), а на дискретном наборе значений. Причём к проблеме деления целых чисел на 7 или на 17 это имеет весьма отдалённое отношение, этими развлечениями занимается теория чисел, вполне себе традиционный раздел. Для проблемы деления не нужно дискретное преобразование Лапласа (z-преобразование), а вот для анализа изображений, получаемых с ПЗС-матриц, как и для анализа параметров этих матриц, оное преобразование оч-чень даже полезный инструмент...
