Докажем, что все члены последовательности лежат в пределах [3/2;2].
x_1 там лежит; пусть для некоторого n выполнено 3/2≤x_n≤2;
тогда 1/2≤1/x_n≤2/3⇒3/2≤1+(1/x_n)≤5/3<2⇒3/2≤x_(n+1)≤2; тем самым методом математической индукции утверждение доказано для всех членов последовательности.
Далее, оценим разность между соседними членами последовательности:
|x_(n+1) - x_n|=|1+(1/x_n) - 1 - (1/x_(n-1))|=|x_(n-1) - x_n|/(x_n·x_(n-1))≤
|x_(n-1) - x_n|/(3/2)^2
Отсюда следует сходимость последовательности.
Предел A последовательности теперь ищется элементарно. Для этого нужно перейти к пределу в равенстве x_(n+1)=1+(1/x_n):
A=1+(1/A); A^2-A-1=0; A=(1+√5)/2 (отрицательный корень отбросили, поскольку A>0
[2A]=[1+√5]=3
Ответ: 3
Х (км/ч) - скорость лодки в неподвижной воде
(х+5) км/ч - скорость лодки по течению
(х-5) км/ч - скорость лодки против течения
5 км/ч - скорость плота
60 : 5=12 (ч) - время движения плота
<u>132 </u> ч - время движения лодки по течения
х+5
<u>132 </u> ч - время движения лодки против течения
х-5
Так как моторная лодка отправилась через 1 час после плота, то составим уравнение:
<u>132</u> + <u>132</u> = 12-1
х+5 х-5
132(х-5) + 132(х+5)=11(х-5)(х+5)
132х-660+132х+660=11(х²-25)
264х=11х²-275
11х²-264х-275=0
Д=264²-4*11*(-275)=69696+12100=81796
х₁=(264-286)/22=-22/22=-1 (не подходит по смыслу задачи)
х₂=(264+286)/22=550/22=25
Ответ: 25 км/ч - скорость лодки в неподвижной воде.
Составим уравнение:
6(x+2)=8(x-2)
6x+12=8x-16
28=2x
x=14
Ответ: 14 км/ч.
Дробь имеет смысл, если знаменатель дроби не равен нулю. Х-4≠0, х≠4. Ответ: х∈(-∞;4)U(4;+∞)
(с-2)²-c(c-4) = c²-4c+4-c²+4c=4 при любом с