Question

Найдите рациональные корни уравнения.Найдите рациональные корни уравнения.$2 x^{3} +7 x^{2} +5 x +1=0$

Answer 1

Положим, что a,b,c есть корни данного уравнения тогда:
$(x-a)\cdot(x-b)\cdot(x-c)=(x^2-x(a+b)+ab)\cdot(x-c)=x^3-x^2(a+b)+xab-x^2c+xc(a+b)-abc=x^3-x^2(a+b+c)+x(ca+cb+ab)-abc$
Получаем такую зависимость:
$x^3-x^2\cdot(a+b+c)+x\cdot(ca+bc+ab)-abc$
Приведем данное уравнение к такому виду, т.е сделаем его приведенным:
$2x^3+7x^2+5x+1=x^3+\frac{7}{2}x^2+\frac{5}{2}x+\frac{1}{2}$
Заметим, что $x=-\frac{1}{2}$  является одним из корней уравнения:
$-2\cdot\frac{1}{8}+7\cdot\frac{1}{4}-\frac{5}{2}+1=\frac{3}{2}-\frac{3}{2}$
Составляем систему:
$-(a+b+c)=\frac{7}{2}$
$ca+bc+ab=\frac{5}{2}$
$abc=\frac{1}{2}$
Так как один из корней найдем, положим что $b=-\frac{1}{2}$
Получаем следующую систему:
$a+c=-\frac{7}{2}+\frac{1}{2}=-6$
$ca-\frac{c}{2}-\frac{a}{2} = \frac{5}{2}$
$ac=-1$
Для нахождения двух неизвестных используем систему из двух уравнений:
$a+c=-6$
$ac=-1$
Заметим, что данная система не имеет рациональных решений, ее решения имеют вид:
$a=-3\pm\sqtr{10}$
$c=-3\pm\sqrt{10}$
Для экономии места, вычисления опущены.
Получаем, что данное уравнение имеет только один рациональный корень:
$-\frac{1}{2}$
Ответ: $-\frac{1}{2}$