Question

Помогите, пожалуйста, решить. Очень подробно.

Answer 1

$\sqrt{5-7x} \ln(9x^2-a^2)= \sqrt{5-7x} \ln(3x+a)$
ОДЗ:
$\left\{\begin{array}{l} 5-7x \geq 0 \\ 9x^2-a^2\ \textgreater \ 0 \\ 3x+a\ \textgreater \ 0 \end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} 7x \leq 5 \\ (3x-a)(3x+a)\ \textgreater \ 0 \\ 3x+a\ \textgreater \ 0 \end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} x \leq \frac{5}{7} \\ 3x-a\ \textgreater \ 0 \\ 3x+a\ \textgreater \ 0 \end{array}$
$\sqrt{5-7x} \ln(9x^2-a^2)= \sqrt{5-7x} \ln(3x+a) \\\ \sqrt{5-7x} \ln(9x^2-a^2)- \sqrt{5-7x} \ln(3x+a)=0 \\\ \sqrt{5-7x}\left( \ln(9x^2-a^2)- \ln(3x+a)\right)=0$
Приравниваем к нулю первый сомножитель:
$\sqrt{5-7x}=0 \\\ x= \dfrac{5}{7}$
Проверим, при каких а корень 5/7 не будет противоречить ОДЗ:
$\left\{\begin{array}{l} \dfrac{15}{7} -a\ \textgreater \ 0 \\ \dfrac{15}{7} +a\ \textgreater \ 0 \end{array} \Rightarrow -\dfrac{15}{7}\ \textless \ a\ \textless \ \dfrac{15}{7}$
Приравниваем к нулю второй сомножитель:
$\ln(9x^2-a^2)- \ln(3x+a)=0 \\\ \ln(3x+a)+ \ln(3x-a)- \ln(3x+a)=0 \\\ \ln(3x-a)=0 \\\ 3x-a=1 \\\ x= \dfrac{a+1}{3}$
Проверим, при каких а этот корень не противоречит ОДЗ:
$\left\{\begin{array}{l} \dfrac{a+1}{3} \leq \dfrac{5}{7} \\ 3\cdot\dfrac{a+1}{3} -a\ \textgreater \ 0 \\ 3\cdot \dfrac{a+1}{3} +a\ \textgreater \ 0 \end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} 7(a+1) \leq 15 \\ a+1 -a\ \textgreater \ 0 \\ a+1 +a\ \textgreater \ 0 \end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} 7a \leq 8 \\ 2a \ \textgreater -1 \end{array}$
$\Rightarrow -\dfrac{1}{2} \ \textless \ a \leq \dfrac{8}{7}$
Нужно выбрать значения а, принадлежащие только одному из двух интервалов: $-\dfrac{15}{7}\ \textless \ a\ \textless \ \dfrac{15}{7}$ и $-\dfrac{1}{2} \ \textless \ a \leq \dfrac{8}{7}$. Так корень при выбранных значениях а будет один. Это значения:
$a\in\left(- \dfrac{15}{7} ;- \dfrac{1}{2} \right]\cup\left(\dfrac{8}{7} ; \dfrac{15}{7} \right)$
Остается проверить, есть ли значения а, при которых оба рассматриваемых корня совпадут:
$\dfrac{a+1}{3}= \dfrac{5}{7} \\\ 7(a+1)=15 \\\ 7a+7=15 \\\ 7a=8 \\\ a= \frac{8}{7}$
При а=8/7 оба корня уравнения будут равны, то есть по сути различный корень будет один. значит, добавляем это значение к полученным ранее:
$a\in\left(- \dfrac{15}{7} ;- \dfrac{1}{2} \right]\cup\left[\dfrac{8}{7} ; \dfrac{15}{7} \right)$
Ответ: $a\in\left(- \dfrac{15}{7} ;- \dfrac{1}{2} \right]\cup\left[\dfrac{8}{7} ; \dfrac{15}{7} \right)$