Question

Как решить неравенство?

Помогите решить неравенства

1. |x^2-5|> 2
2. |x|<x+1
3. |x^2-2x-3|>x^2-2x-3

Answer 1

Проще всего эти неравенства решать графически.

Надеюсь, построение графика у=x^2 затруднений не вызывает.

Решаем первое неравенство.

1. На отдельном листке начертите оси координат, чтобы начало координат было примерно в центре листа.
2. Начертите график функции у=x^2 (парабола).
3. Опустите параболу на 5 единиц вниз, получился график функции у=x^2-5.
4. Начертите линию у=2.
5. Сложите листок пополам, так, чтобы линия перегиба совпала с осью ОХ.
6. Посмотрите ваш график на просвет, держа его так чтобы ось Y была направлена вверх. Вместо параболы Вы видите некое подобие буквы W, или греческой буквы омега. Это график функции у=|x^2-5|.
7. Решением Вашего неравенства являются те диапазоны значений "х", в которых участки "бывшей параболы" лежат выше линии у=2. Таких диапазонов три: первый от минус бесконечности до -√(7), т.е. x<-√(7), второй от -√(3) до +√(3), т.е. -√(3)<x<√(3), третий от +√(7) до + бесконечности, т.е. x>√(7).

Решаем неравенство 3. Прежде всего заметим что и в левой и в правой частях выражение одно и то же, только слева модуль.

1. Преобразуем выражение x^2-2x-3 следующим образом: x^2-2x-3=x^2-2x+1-1-3=(x^2-2x+1)-4=(х-1)^2-4.
2. Так же на отдельном листке строим график функции у=x^2.
3. Передвигаем параболу на 1 единицу вправо.
4. Передвигаем параболу на 4 единицы вниз. Получился график функции y=x^2-2x-3.
5. Еще на одном листочке дублируем шаги 2-4. Теперь один из листочков сгибаем, так чтобы линия сгиба совпала с осью ОХ, и смотрим на просвет. Получаем график функции y=|x^2-2x-3|
6. Совмещаем согнутый листочек с несогнутым. Видим, что участки параболы, расположенные выше оси Х на обоих листочках (для обеих функций) совпадают. Значит на этих участках нет решений. А вот участок между значениями х=-1 и х=3 у графика модуля расположен выше оси ОХ, а у исходной параболы - ниже. Значит интервал между этими значениями и будет решением, т.е. -1<x<3.

Решаем неравенство 2.

1. Рисуем на листочке график функции y=x (прямая линия - диагональ первой и третьей четвертей).
2. Перегибаем листочек пополам, смотрим на просвет, видим "уголок" из диагоналей первой и второй четвертей, с вершиной в начале координат. Это и есть график функции y=|x|.
3. На другом листочке рисуем график y=x.
4. Поднимаем его на 1 вверх. Получился график функции у=х+1.
5. Накладываем листочек с графиком функции y=|x| (согнутый).
6. Решениями являются те значения Х, при которых график функции y=|x| лежит ниже, чем график функции у=х+1, т.е. значения x>(-0.5).

Answer 2

Это неравенства с модулем. Это значит, что 1. x^2-5 может быть положительным, больше нуля и отрицательным, меньше нуля. В первом случае x^2-5> 2. Переносим -5 на правую сторону неравенства со знаком плюс x^2>7, x > √(7). Если модуль отрицательный то -x^2+5> 2, x^2< 3

x < √3.

2.|x|<x+1, x<x+1, при положительном модуле 0 <+1, неравенство неверное не имеет решения или иначе говорят имеем пустое множество. При отрицательном модуле -x<x+1, 2х>1, х>0,5.

3.|x^2-2x-3|>x^2-2x-3, при положительном модуле x^2-2x-3>x^2-2x-3, -2x-3>-2x-3, получаем тождественное неравенство справедливое при любом значении х. При отрицательном модуле

-x^2+2x+3>x^2-2x-3, 2x^2-4х-6 < 0. Решаем квадратное уравнение 2x^2-4х-6=0, находим дискриминант D=b^2-4ac, D=16+48=64,дискриминант больше и уравнение имеет два корня x1=(-b+√D)/2a, x1=(4+8)/4=3, x2=(-b-√D)/2a, x2=(4-8)/4, x2 = -1. Для х1 получаем 3 < 0, пустое множество, для х2 < -1 .

Answer 3

Я уже давал один ответ. Не знаю, можно ли давать два ответа, но попробую, поскольку bezdelnik дал настолько плохой ответ, что ситуацию необходимо срочно исправлять.

Приведу СТАНДАРТНЫЙ МЕТОД решения уравнений и неравенств с модулями.

1. Решаем первое уравнение.

|x^2-5|> 2

1.1. Рассматриваем неотрицательные значения подмодульного выражения, т.е. x^2-5≥0. Из этого условия получаем ОДЗ (x+√5)*(x-√5)≥0. Значит ОДЗ1 состоит из двух интервалов -∞<x≤-√5 и √5<x<+∞, или как принято в математике: -∞<x≤-√5 ∩ √5<x<+∞.

В ОДЗ1 модуль раскрывается без изменения знака, получаем: x^2-5>2, решаем x^2-7>0, (x+√7)*(x-√7)>0. Получаем решение в виде двух интервалов: -∞<x≤-√7 и √7<x<+∞. Оба решения входят в ОДЗ1, значит оба подходят. Записываем в виде -∞<x≤-√7 ∩ √7<x<+∞.

1.2. Рассматриваем отрицательные значения подмодульного выражения, т.е. x^2-5<0. Из этого условия получаем ОДЗ2 -√5<x<√5.

В этом ОДЗ2 подмодульное выражение раскрываем с изменением знаков, получаем: -x^2+5>2, решаем: x^2-3<0, (x-√3)*(x+√3)<0, получаем решение -√3<x<√3. Оно полностью входит в ОДЗ2.

Итак, объединяя решения получаем то же самое, что и в графическом способе решения:

-∞<x≤-√7 ∩ -√5<x<√5 ∩ √7<x<+∞.

1. Решаем второе неравенство.

|x|<x+1

2.1. Рассматриваем значения х≥0, т.е ОДЗ1 х≥0. Тогда модуль раскрывается с сохранением знаков. Получаем: x<x+1. Решая, получаем 0<1, т.е истинное неравенство, не зависящее от Х, т.е. при любом допустимом значении Х. Значит вся ОДЗ1, найденная выше, является решением: х≥0.

2.2. Рассматриваем значения x<0, т.е ОДЗ2 x<0. Тогда модуль раскрывается с изменением знака. Получаем: -x<x+1. Решая, получаем 2х>-1, т.е решение х>-0.5. Учитывая, что ОДЗ2 х<0, получаем, что решением является только часть, а именно -0.5<x<0.

Объединяя оба решения получаем объединенное решение -0,5<x.

Решаем третье неравенство:

|x^2-2x-3|>x^2-2x-3

1.1. Рассматриваем неотрицательные значения подмодульного выражения: x^2-2x-3≥0. Решаем это неравенство: x^2-2x-3≥0, (х-3)*(х+1)≥0. Решение получается в виде двух интервалов x≤-1 и x≥3. Итак, ОДЗ1 -∞<x≤-1 ∩ 3≤x<+∞

В ОДЗ1 модуль раскрывается без изменения знака. Получаем x^2-2x-3>x^2-2x-3, или 0>0. Получили НЕВЕРНОЕ НЕРАВЕНСТВО. Значит вся область ОДЗ1 не имеет решений.

1.2. Рассматриваем отрицательные значения подмодульного выражения, т.е. x^2-2x-3<0. Решаем это неравенство: x^2-2x-3<0, (х-3)*(х+1)<0, -1<x<3. Получаем ОДЗ2.

В этом ОДЗ2 подмодульное выражение раскрываем с изменением знаков, получаем: -x^2+2x+3>x^2-2x-3, решаем: 2x^2-4x-6<0, x^2-2x-3<0, получаем решение -1<x<3. Оно полностью совпадает с ОДЗ2. Значит вся ОДЗ2 является решением.

Поскольку ОДЗ1 не содержит решений, то общее решение -1<x<3.

Как видите, аналитическое решение полностью совпало с графическим, но насколько графическое проще.