N=1 A=1 B=1 все гуд число А делится нацело на число В
пусть дальше в рассуждениях n>1
(воспользуемся дальше в рассуждениях свойствами геометрической прогрессии --формулой суммы
а также формулой разности квадратов выражений)
A=1+100+100 00+1 00 00 00...+1 00 00 00 00(2n-2 нулей)=
![1*\frac{100^n-1}{100-1}=\frac{100^n-1}{99}=\frac{(10^2)^n-1}{99}=\\\\\frac{(10^n)^2-1^2}{99}=\frac{(10^n-1)(10^n+1)}{9*11}](https://tex.z-dn.net/?f=1%2A%5Cfrac%7B100%5En-1%7D%7B100-1%7D%3D%5Cfrac%7B100%5En-1%7D%7B99%7D%3D%5Cfrac%7B%2810%5E2%29%5En-1%7D%7B99%7D%3D%5C%5C%5C%5C%5Cfrac%7B%2810%5En%29%5E2-1%5E2%7D%7B99%7D%3D%5Cfrac%7B%2810%5En-1%29%2810%5En%2B1%29%7D%7B9%2A11%7D)
B=1+10+100+1000+...+100000..00 (n-1 нулей)=
![1*\frac{10^n-1}{10-1}=\frac{10^n-1}{9}](https://tex.z-dn.net/?f=1%2A%5Cfrac%7B10%5En-1%7D%7B10-1%7D%3D%5Cfrac%7B10%5En-1%7D%7B9%7D)
отсюда видно, что
![A=\frac{10^n+1}{11}*B](https://tex.z-dn.net/?f=A%3D%5Cfrac%7B10%5En%2B1%7D%7B11%7D%2AB)
а значит число А будет на число В НАЦЕЛО (!!!а так оно себе делится на число В --оно ведь не 0)
если
![10^n+1](https://tex.z-dn.net/?f=10%5En%2B1)
делится нацело на 11
Используя признак делимости на число 11: а именно, что число делится на 11 тогда и только тогда когда модуль разности между суммой цифр занимающих нечетные позиции и суммой цифр, занимающих четные позиции делится нацело на 11
при четном числе n получаем что две единицы на нечетном месте и возможно нули на четных и нечетных позициях(но нули не влияют при суммировании на итог суммы а+0=а)
поэтому сумма на четных местах равна 2, на нечетных 0, модуль разности равен 2 , нацело на 11 не делится
значит вариант четного числа n нас не устраивает
при нечетном n получаем что одна единица на четном месте и одна на нечетном и возможно нули на четных и нечетных позициях, а значит сумма цифр на четных местах равна 1, на нечетных равна 1, модуль разности равен 0 и делится нацело на 11
значит нечетное число n нам подходит
обьедияняя с тривиальным случаем n=1
получаем ответ: при любом нечетном натуральном n