![\log_2x-2\log_x2=-1](https://tex.z-dn.net/?f=%5Clog_2x-2%5Clog_x2%3D-1)
<em>ОДЗ уравнения </em>
![\begin{cases} & \text{ } x\ne 1 \\ & \text{ } x\ \textgreater \ 0 \end{cases} ](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cbegin%7Bcases%7D%0A+%26+%5Ctext%7B+%7D+x%5Cne+1+%5C%5C+%0A+%26+%5Ctext%7B+%7D+x%5C+%5Ctextgreater+%5C+0+%0A%5Cend%7Bcases%7D%0A)
<em>Воспользуемся формулой перехода к новому основанию: </em>
![\log_2x-2\cdot \frac{\log_22}{\log_2x}+1=0|\cdot \log_2x\\ \log_2^2x+\log_2x-2=0](https://tex.z-dn.net/?f=%5Clog_2x-2%5Ccdot++%5Cfrac%7B%5Clog_22%7D%7B%5Clog_2x%7D%2B1%3D0%7C%5Ccdot+%5Clog_2x%5C%5C+%5Clog_2%5E2x%2B%5Clog_2x-2%3D0+)
<em>Произведем замену переменных
Пусть </em>
![\log_2x=a;\,(a\ \textgreater \ 0)](https://tex.z-dn.net/?f=%5Clog_2x%3Da%3B%5C%2C%28a%5C+%5Ctextgreater+%5C+0%29)
, <em>в результате замены переменных получаем квадратное уравнение
</em>
![a^2+a-2=0](https://tex.z-dn.net/?f=a%5E2%2Ba-2%3D0)
<em> По т. Виета </em>
![a_1=-2;\,\,\, a_2=1](https://tex.z-dn.net/?f=a_1%3D-2%3B%5C%2C%5C%2C%5C%2C+a_2%3D1)
<em>Возвращаемся к замене
</em>
![\log_2x=1\\ x=2](https://tex.z-dn.net/?f=%5Clog_2x%3D1%5C%5C+x%3D2)
![\log_2x=-2\\ x= \frac{1}{4}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Clog_2x%3D-2%5C%5C+x%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D+)
<em>Корень х = 1/4 - посторонний.
</em><em>Проверка:
</em>
![\log_22-2\log_22=-1\\ 1-2=-1\\ -1=-1](https://tex.z-dn.net/?f=%5Clog_22-2%5Clog_22%3D-1%5C%5C+1-2%3D-1%5C%5C+-1%3D-1)
<em>Корнем уравнение будет х = -1.
</em>
![\log_2 \frac{1}{4} -2\log_{\frac{1}{4}}2=-1\\ -2-3=-1\\ -5\ne -1](https://tex.z-dn.net/?f=%5Clog_2+%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D+-2%5Clog_%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%7D2%3D-1%5C%5C+-2-3%3D-1%5C%5C+-5%5Cne+-1)
<em>Не тождество.
</em><em>
</em>
<em>Окончательный ответ: </em>![2.](https://tex.z-dn.net/?f=2.)
1) а) у = -х³ + 9х² +х -1
y' = -3x² +18x +1
б) y = (3x² -4)/(2 - x) (формула: (U/V)' = (U'V - UV') /V² )
y' = ( (3x² -4)'*(2 - x) - (3x² -4)*(2 - x)' )/(2 -x)² =
=(6x*(2 -x) +3x² -4)/(2 -x)² =(12x -6x² +3x² -4)/(2 -x)² =(-3x² +12x -4)/(2 -х)²
в) у = Ctgx⁴
y'= -1/Sin² x⁴ * (x⁴)' = -4x³/Sin²x⁴
г) y = Sin(2x² +1)
y' = Cos(2x² + 1) * (2x² +1)' = 4x*Sin(2x² +1)
2)y = Cos3xCosx (формула: (UV)'= U'V + UV')
y' = ( Cos3x)'Cosx + Cos3x (Cosx)' = -3Sin3xCosx -Cos3xSinx
y'(-π/2) = -3Sin(3*(-π/2))Cos(-π/2) -Cos(3*(-π/2))Sin(-π/2)=
= 3 *1 *0 -0*(-1) = 0
3) φ(t) = 3t² -4t +2
V = φ'(t) = 6t - 4
V(4) = 6*4 -4 = 20
4)y = x³ -6x² x₀= -1
уравнение касательной имеет вид: у - у₀=f'(x₀)(x -x₀)
y₀ =(-1)³ -6*(-1)² = -1 -6 = -7
f'(x) = 3x² -12x
f'(-1) =3*1 -12*(-1) = 15
пишем уравнение: у +7 =15(х +1)
у +7 = 15х +15
у = 15х +8
При возведении произведения в степень, каждый множитель возводится в эту степень...
... = (-2)⁴ * х⁴ *(у⁴)⁴ = +16 * х⁴ * у¹⁶
при возведении степени в степень, показатели степени перемножаются...
Нужно просто подставить и посчитать