Question

Решите тригонометрические уравнения:

1) 3cos^2 x - 10cos x + 7 = 0
2) 6cos^2 x + 7sin x - 1 = 0
3) 3cos^2 x + 5sin x + 5 = 0
4) 12cos^2 x - 20cos x + 7 = 0
5) 5cos^2 x - 12sin x - 12 = 0

Answer 1

Все уравнения решаются методом замены.
1) Пусть сosx=a, тогда
3*a^2-10*a+7=0   a1,2=(10±√(10^2-4*3*7))/2*3=(10±4)/6
a1=(10-4)/6=1  , то есть cosx=1  x=2*П*n, nЄZ
a2=(10+4)/6=7/3 так как -1=<cosx=<1   7/3>1 значение не подходит.
2) Преобразуем уравнение
6*cos^2 x+7*sinx-1=0     6*cos^2 x=6-6*sin^2x заменяем
6-6*sin^2 x+7*sinx-1=0    -6*sin^2 x+7*sinx+5=0
Пусть sinx=a  -6*a^2+7*a+5=0   a1,2=(-7±√(7^2-4*(-6)*5))/2*(-6)=
=(-7±13)/-12
a1=(-7-13)/(-12)=20/12=5/3  не подходит
а2=(-7+13)/(-12)=6/(-12)=-1/2   sinx=-1/2  x=(-1)^n*7*П/6+П*n, nЄZ
3) 3*сos^2 x+5*sinx+5=0   3*cos^2 x=3-3*sin^2 x
3-3*sin^2 x+5*sinx+5=0  (*(-1))   3*sin^2 x-5*sinx-8=0
Пусть sinx=a  
3*a^2-5*a-8=0  a1,2=(5±√(5^2+4*3*8))/2*3=(5±11)/6
a1=(5-11)/6=-1  sinx=-1  x=-П/2+2*П*k, kЄZ
a2=(5+11)/6=16/6=8/3>1 не подходит
4) Пусть cosx=a  12*a^2-20*a+7=0  a1,2=(20±√(20^2-4*12*7))/2*12=
=(20±8)/24
a1=(20-8)/24=12/24=1/2  cosx=1/2  x=П/3+2*П*k, kЄZ
a2=(20+8)/23=28/24>1 не подходит
5)  5*сos^ x-12*sinx-12=0  5cos^2 x=5-5*sin^2 x
5-5*sin^2x-12*sinx-12=0 (*(-1)  5*sin^2 x+12*sinx+7=0
Пусть sinx=a  5*a^2+12*a+7=0   a1,2=(-12±√(12^2-4*5*7))/2*5=(-12±2)/10
a1=(12-2)/10=1  sinx=1  x=П/2+2*П*k, kЄZ
a2=(12+2)/10=14/10>1 не подходит