Question

ПОмогите с интегралом)

Answer 1

$\displaystyle \int\limits { \frac{\cos^2x}{\sin^{10}x} } \, dx =\int\limits {ctg^2x\sin^8x} \, dx =\int\limits {ctg^2x(ctg^2x+1)^4} \, dx =\\ \\ \\ =\int\limits {\bigg(ctg^{10}x+4ctg^8x+6ctg^6x+4ctg^4x+ctg^2x\bigg)} \, dx = \\ \\ \\ =\int\limits {ctg^{10}x} \, dx +4\int\limits {ctg^8x} \, dx +6\int\limits {ctg^6x} \, dx +4\int\limits {ctg^4x} \, dx +\int\limits {ctg^2x} \, dx =$

Воспользуемся известной формулой:
 $\displaystyle\int\limits {ctg^nx} \, dx =- \frac{ctg^{n-1}}{n-1} -\int\limits {ctg^{m-2}x} \, dx$

Если $n=10$
$=- \frac{1}{9} ctg^9x+3\displaystyle\int\limits {ctg^8x} \, dx +6\int\limits {ctg^6x} \, dx+ 4\int\limits {ctg^4x} \, dx +\int\limits {ctg^2x} \, dx =$

Если $n=8$
$= \frac{1}{9} ctg^9x- \frac{3}{7} ctg^7x+\displaystyle3\int\limits {ctg^6x} \, dx +4\int\limits {ctg^4x} \, dx +\int\limits {ctg^2x} \, dx =$
Если $n=6$

$= \displaystyle\frac{1}{9} ctg^9x- \frac{3}{7} ctg^7x- \frac{3}{5} ctg^5x+\displaystyle\int\limits {ctg^4x} \, dx +\int\limits {ctg^2x} \, dx =$
Если $n=4$

$=\displaystyle- \frac{1}{9} ctg^9x- \frac{3}{7} ctg^7x- \frac{3}{5} ctg^5x- \frac{1}{3}ctg^3x+C$


Второй пример будем пользоваться формулой:
  $\sin \alpha \sin \beta = \dfrac{\cos( \alpha - \beta )-\cos( \alpha + \beta )}{2}$

$\displaystyle \int\limits {\sin 2x\sin5x} \, dx = \frac{1}{2} \int\limits {\bigg(\cos 3x-\cos 7x\bigg)} \, dx =\\ \\ \\ = \frac{1}{2} \int\limits {\cos3x} \, dx - \frac{1}{2}\int\limits {\cos7x} \, dx = \frac{1}{6} \sin3x- \frac{1}{14} \sin7x+C$