Question

- найти наименшее значение а при котором уравнение имеет ровно 2 корня

Answer 1

Запомнив, что $a\ge x\ge4$ перепишем уравнение как

$\sqrt{x-4}=\sqrt{a}-\sqrt{x}$

и возведем в квадрат:

$x-4=a+x-2\sqrt{ax}\\ 2\sqrt{ax}=a+4\\ 4ax=(a+4)^2\\ x=\dfrac{(a+4)^2}{4a}$

Последний переход справедлив, так как a!=0.

Проверим условие a>=x:

$\dfrac{(a+4)^2}{4a}\le a\\ 4a^2\ge(a+4)^2\\ 2a\ge a+4$

Неравенство, как и следовало ожидать, выполняется при всех a>=4.

 

Итак, уравнение имеет ровно 1 корень при a>=4, равный (a+4)^2/4a. 

 

Ответ. Такого а не существует.