![1)f(x)=x*e^x\\f'(x)=e^x+x*e^x\\\\e^x+x*e^x=0\\e^x(1+x)=0](https://tex.z-dn.net/?f=1%29f%28x%29%3Dx%2Ae%5Ex%5C%5Cf%27%28x%29%3De%5Ex%2Bx%2Ae%5Ex%5C%5C%5C%5Ce%5Ex%2Bx%2Ae%5Ex%3D0%5C%5Ce%5Ex%281%2Bx%29%3D0)
![e^x](https://tex.z-dn.net/?f=e%5Ex)
не может равняться нулю, поэтому остаётся только один множитель:
![1+x=0\\x=-1.](https://tex.z-dn.net/?f=1%2Bx%3D0%5C%5Cx%3D-1.)
Значит, экстремум — в точке −1. Теперь по методу интервалов найдём, что функция возрастает на промежутке
![[-1;+\infty)](https://tex.z-dn.net/?f=%5B-1%3B%2B%5Cinfty%29)
, а убывает — на промежутке
![(-\infty;-1].](https://tex.z-dn.net/?f=%28-%5Cinfty%3B-1%5D.)
2)
![f(x)=x\ln x\\f'(x)=\ln x + \frac{1}{x} *x=\ln x+1](https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%3Dx%5Cln+x%5C%5Cf%27%28x%29%3D%5Cln+x+%2B++%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D+%2Ax%3D%5Cln+x%2B1)
![\ln x+1=0\\ \ln x+ \ln e=0\\\ln (ex)=0\\ex=1\\x=1/e.](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cln+x%2B1%3D0%5C%5C%0A%5Cln+x%2B+%5Cln+e%3D0%5C%5C%5Cln+%28ex%29%3D0%5C%5Cex%3D1%5C%5Cx%3D1%2Fe.)
Прикольная функция, да)
Итак, экстремум — в точке
![1/e](https://tex.z-dn.net/?f=1%2Fe)
. По методу интервалов получится, что функция возрастает на промежутке
![[1/e ;+\infty)](https://tex.z-dn.net/?f=+%5B1%2Fe+%3B%2B%5Cinfty%29)
, а убывает — на промежутке (внимание! у нас же логарифм, поэтому ОДЗ:
![x\ \textgreater \ 0](https://tex.z-dn.net/?f=x%5C+%5Ctextgreater+%5C+0)
)
![(0;1/e]](https://tex.z-dn.net/?f=%280%3B1%2Fe%5D)
.