Question

Как найти с и 2-ой корень 12x^2+x+c=0, при условии что 1-й корень = 0.25?

Answer 1

Проще в сего сначала найти значение с, просто подставив известный корень вместо х. Кстати, если вместо десятичной дроби х=0,25 использовать обычную дробь х=1/4, то решать будет немного проще ;-)

Итак,

с = -12х² - х

с = -12(1/4)² - 1/4

с = -12/16 - 1/4

с = -3/4 - 1/4

с = -1

Подставляем найденное значение с в исходное уравнение и получаем

12х² + х - 1 = 0

Ну, а помня о том, что квадратное уравнение можно представить в виде произведения, то найти второй корень можно просто разделив полученное выражение, в данном случае на ( х - 1/4 ):

( 12х² + х - 1 ) / ( х - 1/4 ) = 12х + 4

Приравниваем найденное выражение к 0 и находим второй корень уравнения:

12х + 4 = 0

12х = -4

х = -1/3

Ну, а проверить найденные значения можно помножив ( х - 1/4 ) на ( х + 1/3 ):

( х - 1/4 )( х + 1/3 ) = х² - х/4 + х/3 - 1/12 = ( 12х² + х - 1 )/12

Т.к. ( 12х² + х - 1 )/12 = 0, то и 12х² + х - 1 = 0, а значит

найденные значения с = -1 и второго корня уравнения х = -1/3 так же верны ;-)

Answer 2

Привожу два способа.

Способ 1) Решение "в лоб":

Имеем общий случай квадратного уравнения

с известным одним корнем

Находим дискриминант

Берём стандартную формулу решения квадратного уравнения

и приравниваем правую часть к известному корню

Избавляемся от радикала – возводим обе части уравнения в квадрат:

и находим свободный член уравнения

Теперь исходное уравнение имеет вид

Стандартным способом:

Способ 2) Отдадим должное трудам сеньйора де ла Биготье, конкретно – формуле Виета:

Для начала приведём исходное уравнение к единичному старшему коэффициенту, т.е., поделим обе части уравнения на 12:

Из суммы корней находим второй корень:

Имея оба корня, находим свободный член преобразованного уравнения

и соответственно свободный член исходного уравнения

Как видим, оба способа решения дают одинаковые результаты. Вывод однозначный: решение верное.

Answer 3

c = -1

Второй корень равен -1/3

Поделите столбиком полином 12 х^2 + x + c на х - 0,25. И всё получится.

Answer 4

На вопрос "как?" ответ до чрезвычайности простой: по теореме Виета.

Делить полином надо не столбиком на (х-0,25), а на 12, чтобы сделать из этого уравнения приведённое (с коэффициентом при х², равным 1). В таком уравнении, по теореме Виета, произведение корней равно свободному члену. И это учат в шестом классе. А может и в пятом.

Кстати, с может быть равно чему угодно (почти что). Лишь бы дискриминант оставался положительным, чтоб уравнение вообще имело корни.

Answer 5

Всё намного проще, чем расписал ВасВас.

Подставляем корень x = 0,25 в уравнение.

12*(0,25)^2 + 0,25 + c = 0

12*(1/4)^2 + 1/4 + c = 0

12/16 + 1/4 + c = 0

c = -12/16 - 1/4 = -3/4 - 1/4 = -1

c = -1

Уравнение

12x^2 + x - 1 = 0

(4x - 1)(3x + 1) = 0

x1 = 1/4; x2 = -1/3