<span>в треугольнике ABC известны стороны, AB=7, BC=9, AC=10, окружность проходящая через A и C пересекает прямые BA и BC, соответственно в точках K и L, отличных от вершин треугольника, отрезок KL касается окружности, вписанной в треугольник ABC, найти KL.</span>
Может, все-таки, найти периметр прямоугольного треугольника...
по т.Пифагора (x+3)^2 = x^2 + 9^2
x = 12
периметр = 9+12+12+3 = 36
<span>По
теореме Пифагора находим меленький отрезок на большем основании трапеции 5 ²=4²+х²
</span>х²=5²-4²
х²=25-16
х²=9
х=3
<span>Это равнобедренная трапеция, находим меньшее основание
9-3-3=3 см
Площадь трапеции: S = ((a+b)/2)*h
(9+3)/2=6
6*4=24
Площадь трапеции равно 24 см</span>²
Две вершины вписанного в полукруг квадрата лежат на диаметре, а две других - на полуокружности - как половина вписанного в круг прямоугольника, стороны которого лежат на равном расстоянии от центра окружности по разные стороны от диаметра.
<span>Пусть данный квадрат будет АВСD, вершины А и D лежат на диаметре КМ, В и С - на полуокружности. . </span>
<span>ВС||KM, </span>⇒КВСМ - трапеция , причем равнобедренная ( в окружность можно вписать только равнобедренную трапецию.
<span><em>Высота равнобедренной трапеции делит большее основание на отрезки, больший из которых равен полусумме оснований, меньший - их полуразности. </em></span>⇒
КD=(2r+BC):2, DМ=(2r-ВС):2
∆ КСМ - прямоугольный (угол С опирается на диаметр)
<span><em>Высота прямоугольного треугольника, проведенная из прямого угла, есть среднее пропорциональное отрезков, на которые она делит гипотенузу</em>. </span>
<span>Примем сторону квадрата равной а. Его площадь будет равна а</span>²
<span>a</span>²<span>= [(2r+a):2]•[(2r-a)</span>²<span>2] </span>⇒
a²=(4r²-a²):4
4a²=4r²-a²
5a²=4r²
<span>a</span>²<span>=4r</span>²<span>/5 - это площадь квадрата. </span>
Площадь круга находят по формуле S =πr² Радиус вписанного в треугольник круга можно найти по формуле r=S:p, где S- площадь треугольника, р- его полупериметр. р=(10+24+26):2=30Площадь треугольника найдем по формуле Герона:S=√{(p−a)(p−b)(p−c)}, где р- полупериметр треугольника, а, b и с - его стороны.
S=√(30•20•6•4)= √(6•5•5•4•6•4)=6•5•4=120r=120:30=4 см S =16π см²-------Радиус найти будет проще, если заметить, что отношение сторон этого треугольника из так называемых Пифагоровых троек, а именно 10:24:26=5:12:13 Это отношение сторон прямоугольного треугольника. Тогда по формуле радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности r=(a+b-c):2, где а, b - катеты, с - гипотенуза:r=(10+24-26):2=4 cм. Площадь круга, естественно. будет та же - 16π см²
