Словообразовательная цепочка выглядит так: вар/ить => по/варить => повар => повар/ёшк/а.
Заданное имя существительное в этой последовательности образовано с помощью суффикса "-ёшк-".
Есть такой суффикс "-ёшк- (-ошк-)" в русском языке. Это непродуктивный суффикс, он придает новым словам значение презрительности, например: рыба - рыбёшка, голова - головёшка, корова - коровёшка, комната - комнатёшка, изба - избёшка.
Оттенок некоего пренебрежения, расхлябанности, запущенности явно здесь присутствует.
Суффикс этот выражает такую характеристику совершенно точно, понятно.
Правда, в слове поварёшка он в современном понятии слова не имеет такого значения, но тем не менее суффикс -ёшк- участвует в образовании слова, никакого другого для его замены нет.
К тому же проверить можно и таким изменением слова -- "поварёшечка** по аналогии с другими вышеприведенными существительными.