Question

Найти общее решение: a) y''=tg3x б) 2yy''=(y')^2

Answer 1

$y''=tg3x$
Дважды почленно проинтегрируем обе части уравнения
$y'=\displaystyle \int\limits {tg3x} \, dx =- \frac{1}{3} \ln|\cos3x|+C_1\\ \\ \boxed{y=\int\limits {(- \frac{1}{3}\ln|\cos 3x|+C_1 } \,) dx +C_2}$

$2yy''=(y')^2$
Это дифференциальное уравнение второго порядка независящее явным образом от переменной х.
Пусть $y'=p(y)$, тогда $y''=pp'$

$2ypp'=p^2\\ p=0;\\ 2yp'=p\\ \\ p'= \dfrac{p}{2y}$
Получили уравнение с разделяющимися переменными.
$\dfrac{dp}{d y} = \dfrac{p}{2y}$

Разделяем переменные

$\dfrac{dp}{p}= \dfrac{dy}{2y}$

Интегрируя обе части уравнения, получаем

$\ln|p|=\ln|C_1 \sqrt{y}|\\ \\ p=C_1 \sqrt{y}$

Обратная замена

$y'= C_1\sqrt{y}$

$\dfrac{dy}{ \sqrt{y} }=C_1dx$

интегрируя обе части получаем

$2 \sqrt{y} =C_1x+C_2\\ \\ \boxed{y= \frac{(C_1x+C_2)^2}{4} }$