Если воспользоваться готовой формулой для радиуса вписанной в правильный тетраэдр сферы - то всё попроще. но попробуем обойтись без этой формулы.
на первом рисунке изображён тетраэдр и сечение вписанной сферы плоскостью СРТ
Низ красный, верх синий
Примем сторону тетраэдра за 1. тогда в треугольнике АКР
АР = 1/2
∠РАК = 30°
КР/АР = tg(30) = 1/√3
КР = 1/(2√3)
КР/АК = sin(30°)
АК = 2*КР = 1/√3
И так как К - точка пересечения медиан основания, то
СК = АК = 1/√3
Переходим к ΔАРТ
РТ²+АР² = АТ²
РТ² + 1/4 = 1
РТ² = 3/4
РТ = √3/2
Переходим к ΔКРТ
КТ²+1/(2√3)² = (√3/2)²
КТ²+1/(4*3) = 3/4
КТ² = 3/4-1/12 = 9/12-1/12 = 8/12 = 2/3
КТ = √(2/3) - это высота пирамиды
Пора искать радиус вписанной сферы
ΔКРТ и ΔХОТ подобны - общий угол Т, по прямому углу и третий угол равен в силу того, что два равны и сумма углов треугольника 180°
ОХ = ОК = r
КР/ОХ = РТ/ОТ
1/(2√3)/r = √3/2/(√(2/3)-r)
(√(2/3)-r)/(2√3) = √3/2*r
√(2/3)-r = 2√3√3/2*r
√(2/3)-r = 3r
√(2/3) = 4r
r = 1/(2√2√3) = 1/(2√6)
Хорошо :)
В правильный тетраэдр с единичным ребром можно вписать сферу радиуса 1/(2√6)
Если радиус сферы R, то ребро тетраэдра будет a = 1/(1/(2√6)) = 2√6
площадь одной грани
S₁ = 1/2*a²*sin(60°) = 2*6*√3/2 = 6√3
И полна плошадь тетраэдра в 4 раза больше
S = 24√3
Основание - параллелограмм. По свойству параллелограмма сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон:
ВД в кв.+АС в кв.=АВ в кв.+ВС в кв.+АД в кв.+ДС в кв.
ВД в кв=(АВ в кв.+ВС в кв.+АД в кв.+ДС в кв) - АС в кв
ВД в кв= (9+16+16+9)-36
ВД в кв.=14
Вд=корень из 14
<span>S-площадь диаганального сечения паралепипеда
</span>S=В1В умножить на ВД=корень из 14 уможить на корень из 14=14
Смежные и вертикальные углы
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Если пересечением многогранника и плоскости является многоугольник, то он называется сечением многогранника плоскостью, а эту плоскость называют секущей плоскостью.
Отметим, что здесь мы рассмотрели взаимное расположение плоскости и выпуклого многогранника. Если многогранник невыпуклый, то плоскость может пересекать его по более сложным фигурам.
ПРИМЕР
Построить сечение пирамиды SABC плоскостью, проходящей через точки K, L и M, где K∈ABC, L∈ABC, а M∈ASC.
РЕШЕНИЕ (я покажу только начальное фото, как только открою доступ в лс - кину все фото)
Для решения этой задачи построим линии пересечения секущей плоскости с гранями пирамиды (эти линии называются следами секущей плоскости). Пусть плоскость сечения α уже построена. Так как плоскости ABC и α имеют две общие точки K и L, то они пересекаются по прямой KL.
Проведем прямую KL до пересечения с отрезками AB и BC в точках E и F. Пусть эта прямая пересекает прямую AC в точке X.
Далее рассуждаем аналогично. Плоскости ASC и α имеют две общие точки X и M, то есть они пересекаются по прямой XM. Проведем прямую XM до пересечения с отрезками SA и SC в точках H и G.
Соединяя точки G и F, лежащие в одной грани BCS, получаем сечение EFHG, единственность которого следует из аксиомы плоскости.
А что это возле 30 градусов?