![\frac{1}{2}+ \frac{1}{2+4} + \frac{1}{2+4+6} +...+ \frac{1}{2+4+6+8+...+24} =](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B++%5Cfrac%7B1%7D%7B2%2B4%7D+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%2B4%2B6%7D+%2B...%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%2B4%2B6%2B8%2B...%2B24%7D+%3D)
посчитаем знаменатели (для последнего слагаемого применим формулу суммы арифметической прогрессии)
![\frac{1}{2}+ \frac{1}{6} + \frac{1}{12}+ \frac{1}{20} +...+ \frac{1}{156} =](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B++%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B12%7D%2B++%5Cfrac%7B1%7D%7B20%7D+%2B...%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B156%7D+%3D)
становится видно, что знаменатели представляют собой произведение двух последовательных натуральных чисел
![\frac{1}{1*2} + \frac{1}{2*3} + \frac{1}{3*4}+ \frac{1}{4*5} +...+ \frac{1}{12*13} =](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2A2%7D+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%2A3%7D+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%2A4%7D%2B++%5Cfrac%7B1%7D%7B4%2A5%7D+%2B...%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B12%2A13%7D+%3D)
представим дроби, начиная со второй, в виде разницы двух дробей со знаменателями-множителями
![\frac{1}{2} +( \frac{1}{2}- \frac{1}{3} )+( \frac{1}{3} - \frac{1}{4})+...+( \frac{1}{12} - \frac{1}{13})=](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%2B%28+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D-+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D+%29%2B%28+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D+-+%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%29%2B...%2B%28++%5Cfrac%7B1%7D%7B12%7D++-+%5Cfrac%7B1%7D%7B13%7D%29%3D)
при раскрытии скобочек многие слагаемые взаимоуничтожатся, и останется
![\frac{1}{2}+ \frac{1}{2}- \frac{1}{13}=1- \frac{1}{13} = \frac{12}{13} .](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B++%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D-++%5Cfrac%7B1%7D%7B13%7D%3D1-+%5Cfrac%7B1%7D%7B13%7D+%3D+%5Cfrac%7B12%7D%7B13%7D+.+)