Question

Докажите, что функция y= F(x) является первообразной для функции f(x)

1) F(x)=-1/4cos2x-1/2cosx, f(x)= cosx/2 * sin3x/2

2) F(x)=3/8x-1/4sin2x+1/32sin4x, f(x)=sin в четвёртой степени x

Answer 1

1) $F'(x) = \frac{1}{4}*2Sin2x + \frac{1}{2}Sinx = \frac{1}{2}(Sinx + Sin2x)$

Рассмотрим нашу функцию f(x)

Воспользуемся следующим тригонометрическим тождеством

$Sin\alpha*Cos\beta=\frac{Sin(\alpha - \beta) + Sin(\alpha + \beta)}{2}$

 

$f(x) = Cos\frac{x}{2}Sin\frac{3x}{2}=\frac{1}{2}(Sinx + Sin2x)$

Т.е. F'(x) = f(x) - что и требовалось доказать

 

2) $F'(x) = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}Cos2x + \frac{1}{8}Cos4x$

$\frac{3}{8} - \frac{1}{2}Cos2x + \frac{1}{8}Cos4x = \frac{3}{8}-\frac{1}{2}(1-2Sin^2x)+\frac{1}{8}(1 - 2Sin^22x)$

$\frac{3}{8}-\frac{1}{2}(1-2Sin^2x)+\frac{1}{8}(1 - 2Sin^22x) = Sin^2x-\frac{1}{4}Sin^22x$

$Sin^2x-\frac{1}{4}Sin^22x = Sin^2x -\frac{1}{4}(4Sin^2xCos^2x)$

$Sin^2x -\frac{1}{4}(4Sin^2xCos^2x)= Sin^2x-Sin^2x(1-Sin^2x)=Sin^4x$

 

F'(x) = f(x) что и требовалось доказать