В системе из трехлинейных уравнений Ax + By + Cz = 0 Dx + Ey + Fz = 0 Gx + Hy + Iz = 0 от трех переменных x, y, z коэффициенты
В системе из трехлинейных уравнений Ax + By + Cz = 0 Dx + Ey + Fz = 0 Gx + Hy + Iz = 0 от трех переменных x, y, z коэффициенты A, E, H положительны, остальные отрицательны, A > |B + C|, E > |D + F|, H > |G + I| Докажите, что система имеет единственное решение x=y=z
Если в условии действительно H > |G + I|, то утверждение, очевидно, неверно: например, система 3x - y - z = 0 -x + 3y - z = 0 -x + 3y - z = 0 кроме решения (0, 0. 0) имеет решение (1, 1, 2).
Если в действительности I > |G + H|, G, H < 0, то утверждение становится верным: Разделим первое уравнение на A, второе на E, третье на I и переобозначим получившиеся коэффициенты: x - ay - bz = 0 -cx + y - dz = 0 -ex - fy + z = 0
Исходя из условия a, b, c, d, e, f > 0; a + b < 1, c + d < 1, e + f < 1.
Умножаем первое уравнение на c и складываем со вторым, умножаем на e и складываем с третьим: x - ay - bz = 0 (1 - ac) y - (d + bc) z = 0 -(f + ae) y + (1 - be) z = 0
Так как 0 < a, b, c, e < 1, то 1 - ac, f + ae > 0. Прибавим к третьему уравнению, домноженному на (1 - ac), второе, домноженное на (f + ae): x - ay - bz = 0 (1 - ac) y - (d + bc) z = 0 [(1 - ac)(1 - be) - (d + bc)(f + ae)] z = 0
Рассматриваем коэффициент перед z в третьем уравнении: (1 - ac)(1 - be) - (d + bc)(f + ae) = 1 + abce - ac - be - df - bcf - ade - abce = 1 - (ac + be + df + bcf + ade)
Оценим выражение в скобках, учтя, что b < 1 - a, d < 1 - c, f < 1 - e: ac + be + df + bcf + ade < ac + (1 - a)e + (1 - c)(1 - e) + (1 - a)c(1 - e) + a(1 - c)e = 1.
Тогда коэффициент перед z положительный, на него можно разделить и получить, что z = 0. Подставляем z = 0 во второе уравнение и получаем, что y = 0. Подставляем y = z = 0 и получаем, что x = 0.
