Апбьждомвввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввв
Если строго по вашей записи:
![\lim_{x \to 0} (\frac{cosx}{cos2x})^{\frac{1}{\sqrt{x}}}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%7D+%28%5Cfrac%7Bcosx%7D%7Bcos2x%7D%29%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bx%7D%7D%7D)
Оценим показатель степени при x->0:
![\frac{1}{\sqrt{x}} -> \infty](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bx%7D%7D+-%3E+%5Cinfty)
Оценим основание степени при х->0:
![\frac{cosx}{cos2x} ->1](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Bcosx%7D%7Bcos2x%7D+-%3E1)
Имеем:
основание степени стремится к 1, при х->0
показатель степени стремится к бесконечности, при x->0
Получаем единицу в степени бесконечность, т.е. единицу.
![\lim_{x \to 0} (\frac{cosx}{cos2x})^{\frac{1}{\sqrt{x}}} = 1](https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%7D+%28%5Cfrac%7Bcosx%7D%7Bcos2x%7D%29%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bx%7D%7D%7D+%3D+1)
Сначала упрощаем неравенство. После:
1. Решаем строгое неравенство. Деление в строгом неравенстве можно заменить сложением и тогда гораздо легче решить методом интервалов. Отмечаем получившиеся промежутки.
2. Найдем случаи, в которых это выражение равно 0. Оно мб равно нулю, только если числитель равен нулю (знаменатель просто напросто не может быть равным нулю - на ноль делить нельзя). Добавляем получившееся значение в промежуток из пункта №1.
Выпишем числитель интересующей дроби:
![a^3+8+4a(a+2)=a^3+8+4a^2+8a=a^3+4a^2+8a+8.](https://tex.z-dn.net/?f=a%5E3%2B8%2B4a%28a%2B2%29%3Da%5E3%2B8%2B4a%5E2%2B8a%3Da%5E3%2B4a%5E2%2B8a%2B8.)
Произведём разложение многочлена на множители, для этого найдём такое значение аргумента
![a](https://tex.z-dn.net/?f=a)
, которое обращает многочлен в 0:
![P(a)=a^3+4a^2+8a+8](https://tex.z-dn.net/?f=P%28a%29%3Da%5E3%2B4a%5E2%2B8a%2B8)
![a=-1,\\P(-1)=-1+4-8+8 \neq 0;\\\\a=-2,\\P(-2)=-8+16-16+8=0](https://tex.z-dn.net/?f=a%3D-1%2C%5C%5CP%28-1%29%3D-1%2B4-8%2B8%20%5Cneq%200%3B%5C%5C%5C%5Ca%3D-2%2C%5C%5CP%28-2%29%3D-8%2B16-16%2B8%3D0)
Произведём деление уголком многочлена на выражение
![a+2](https://tex.z-dn.net/?f=a%2B2)
(cм. приложение).
Теперь многочлен можно записать как произведение множителей:
![a^3+4a^2+8a+8=(a+2)(a^2+2a+4),](https://tex.z-dn.net/?f=a%5E3%2B4a%5E2%2B8a%2B8%3D%28a%2B2%29%28a%5E2%2B2a%2B4%29%2C)
что и появляется в числителе дроби после проделанного преобразования.