Question

В параллелограмме ABCD проведены перпендикуляры BE и DF к диагонали AC. Докажите , что BFDE - параллелограмм.

Answer 1

В параллелограмме ABCD проведены перпендикуляры BE и DF к диагонали AC. 
BE|| DF, т к прямые, перпендикулярные к одной прямой параллельны.
Прямоугольные треугольники АВЕ и DFC равны по гипотенузе и острому углу (AB=CD, угол BAE=углу DCF), из равенства следует BE = DF, тогда четырехугольник BFDE - параллелограмм по признаку (если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм)

Answer 2

Треугольник АВЕ равен треугольнику CDF, т.к. АВ=СД, угол 1=углу 2, как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и СД и секущей АС. Треугольники прямоугольные равны по гипотенузе и острому углу. А в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Значит BE=FD. Но они ещё и параллельны, как  2 перпендикуляра к одной прямой. 
Отсюда треугольники DEF и DEF  равны к прямоугольные, по двум катетам. А в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Против угла F лежит сторона ЕД против угла Е лежит сторона BF. Значит они равны.
А если в четырехугольнике противолежащие стороны попарно равны, то это параллелограмм. Что и требовалось доказать.