Дана трапеция АВСD c основаниями AD и ВС. Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и CD.
а) Докажите, что луч АС - биссектриса BAD.
б) Найдите BD, если известны длины диагоналей трапеции: АС=15 и BD=8,5.
<span><u>Решение. </u></span>
а) <u>∆ АВD- равнобедренный</u>. ВD=AВ.
<span><u>∆ ВСD- равнобедренный</u>, основание СД. </span>
Следовательно, <em>ВС=АВ=BD=8,5</em>
Поэтому <u>∆ АВС - равнобедренный</u>, и ∠ВСА=∠ВАС.
<span> Но </span>∠<span> ВСА=</span>∠<span>САD как накрестлежащий. Отсюда</span>∠<span>ВАС=</span>∠САD ⇒
<em> АС - биссектриса угла ВАD.</em>
<span>б) Продлим АD и из С проведем параллельно ВD прямую до пересечения с продолжением AD в точке Е. </span>
<span>Четырёхугольник ВСЕD- параллелограмм, в котором все стороны равны 8,5. <em>Поэтому ВСЕD- ромб</em>. </span>
<span>Проведем диагональ ромба ВЕ. </span>
<span><em>Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме </em></span><em>квадратов всех его сторон.</em>
СD²+ВЕ²=4•ВС²
CD²=4•8,5- 225
CD²=64
CD=8
----------
<span>Так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся при пересечении пополам, можно половину СD найти по т.Пифагора из одного из образовавшихся четырех прямоугольных треугольников и затем, умножив на 2, получить ту же длину CD=8</span>
