4х-х>1
3x>1
x>1/3
2x-x<5
x<5
в числ. промежуток входят целые числа: 1, 2, 3, 4. Их сумма = 10
1)
одз:
x>=-5
решаем:
![x^4*\sqrt{x+5}=0 \\x^4=0 \\x_1=0 \\\sqrt{x+5}=0 \\x+5=0 \\x_2=-5](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E4%2A%5Csqrt%7Bx%2B5%7D%3D0+%5C%5Cx%5E4%3D0+%5C%5Cx_1%3D0+%5C%5C%5Csqrt%7Bx%2B5%7D%3D0+%5C%5Cx%2B5%3D0+%5C%5Cx_2%3D-5)
Ответ: x1=0; x2=-5
2)
одз:
![x \geq -2 \\ x \geq 6 \\ x \in [6;+\infty)](https://tex.z-dn.net/?f=x+%5Cgeq+-2+%5C%5C+x+%5Cgeq+6+%5C%5C+x+%5Cin+%5B6%3B%2B%5Cinfty%29)
решаем:
![\sqrt{x+2}=2+\sqrt{x-6} \\\sqrt{x+2}-\sqrt{x-6}=2](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%7Bx%2B2%7D%3D2%2B%5Csqrt%7Bx-6%7D+%5C%5C%5Csqrt%7Bx%2B2%7D-%5Csqrt%7Bx-6%7D%3D2)
возведем обе части в квадрат:
![x+2+x-6-2\sqrt{(x+2)(x-6)}=4 \\2x-4-2\sqrt{(x+2)(x-6)}=4 \\2\sqrt{(x+2)(x-6)}=2x-8 \\\sqrt{(x+2)(x-6)}=x-4](https://tex.z-dn.net/?f=x%2B2%2Bx-6-2%5Csqrt%7B%28x%2B2%29%28x-6%29%7D%3D4+%5C%5C2x-4-2%5Csqrt%7B%28x%2B2%29%28x-6%29%7D%3D4+%5C%5C2%5Csqrt%7B%28x%2B2%29%28x-6%29%7D%3D2x-8+%5C%5C%5Csqrt%7B%28x%2B2%29%28x-6%29%7D%3Dx-4)
еще раз возведем в квадрат:
![(x+2)(x-6)=(x-4)^2 \\x^2-6x+2x-12=x^2-8x+16 \\-4x-12=-8x+16 \\4x=12+16 \\4x=28 \\x=7 \in [6;+\infty)](https://tex.z-dn.net/?f=%28x%2B2%29%28x-6%29%3D%28x-4%29%5E2+%5C%5Cx%5E2-6x%2B2x-12%3Dx%5E2-8x%2B16+%5C%5C-4x-12%3D-8x%2B16+%5C%5C4x%3D12%2B16+%5C%5C4x%3D28+%5C%5Cx%3D7+%5Cin+%5B6%3B%2B%5Cinfty%29)
Ответ: x=7
Для того чтобы решить это, нужно сократить дробь, а чтобы сделать это нужно числитель разложить на множители, действуем аналогично квадратному трехчлену:
![ax^{2}-bx+c=a(x- x_{1})(x- x_{2}](https://tex.z-dn.net/?f=%20ax%5E%7B2%7D-bx%2Bc%3Da%28x-%20x_%7B1%7D%29%28x-%20x_%7B2%7D%20%20%20)
, но в нашем случае нужно сделать так:
![a x^{4}+b x^{2} +c=a(x- x_{1})(x- x_{2})(x- x_{3})(x- x_{4})](https://tex.z-dn.net/?f=a%20x%5E%7B4%7D%2Bb%20x%5E%7B2%7D%20%2Bc%3Da%28x-%20x_%7B1%7D%29%28x-%20x_%7B2%7D%29%28x-%20x_%7B3%7D%29%28x-%20x_%7B4%7D%29%20%20%20%20)
, а для того чтобы найти
![x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}](https://tex.z-dn.net/?f=%20x_%7B1%7D%2C%20x_%7B2%7D%2C%20x_%7B3%7D%2C%20%20x_%7B4%7D%20%20%20%20)
, нужно решить биквадратное уравнение, которое, собственно и заключено в числителе:
![x^{4}-13 x^{2} +36=0](https://tex.z-dn.net/?f=%20x%5E%7B4%7D-13%20x%5E%7B2%7D%20%2B36%3D0%20)
Пусть
![x^{2} =t \geq 0](https://tex.z-dn.net/?f=%20x%5E%7B2%7D%20%3Dt%20%5Cgeq%200)
, тогда
![t^{2}-13t+36=0 \\ D=169-144=25 \\ t_{1} = \frac{13-5}{2}=4 ;t_{2} = \frac{13+5}{2}=9](https://tex.z-dn.net/?f=t%5E%7B2%7D-13t%2B36%3D0%20%5C%5C%20%20D%3D169-144%3D25%20%5C%5C%20t_%7B1%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B13-5%7D%7B2%7D%3D4%20%20%3Bt_%7B2%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B13%2B5%7D%7B2%7D%3D9%20)
, тогда
![x=-4;-2;2;4](https://tex.z-dn.net/?f=x%3D-4%3B-2%3B2%3B4)
. Наша дробь примет вид
![\frac{(x-2)(x+2)(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+2)}=(x-2)(x+3)= x^{2} +x-6](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B%28x-2%29%28x%2B2%29%28x-3%29%28x%2B3%29%7D%7B%28x-3%29%28x%2B2%29%7D%3D%28x-2%29%28x%2B3%29%3D%20x%5E%7B2%7D%20%2Bx-6%20)