Question

1.Найдите экстремумы функций f(x)=x^2-3x/x+1
2.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = 1/3 x^2 - 4x на отрезке [0;3]

Answer 1

1.
$f(x)= \frac{x^2-3x}{x+1} \\ f'(x)= \frac{(2x-3)(x+1)-(x^2-3x)}{(x+1)^2} = \frac{2x^2-x-3-x^2+3x}{(x+1)^2}= \frac{x^2+2x-3}{(x+1)^2}$
Условие существования экстремума: f'(x) = 0.
$\frac{x^2+2x-3}{(x+1)^2}=0 \\ \\ \left \{ {{x^2+2x-3=0} \atop {x+1 \neq 0}} \right.$
x² + 2x - 3 = 0
По теореме Виета:
x₁ = -3
x₂ = 1
$f'(x)= \frac{(x+3)(x-1)}{(x+1)^2}$
f'(x) > 0, x ∈ (-∞; -3) и f'(x) < 0, x ∈ (-3; -1) U (-1; 1) ⇒ x₁ = -3 -- точка локального максимума
f'(x) < 0, x ∈ (-3; -1) U (-1; 1) и f'(x) > 0, x ∈ (1; +∞) ⇒ x₂ = 1 -- точка локального минимума

2.
$f(x)= \frac{1}{3} x^2-4x$
Непрерывная на отрезке функция может достигать своего наибольшего и наименьшего значений лишь на концах отрезка и в точках экстремума.
$f'(x)= \frac{2}{3} x-4 \\ f'(x)=0 \\ \frac{2}{3} x-4=0$
x = 6 ∉ [0; 3] ⇒ функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений на концах отрезка.
$f(0)= \frac{1}{3} *0^2-4*0=0 \\ f(3)= \frac{1}{3} *3^2-4*3=-9$
x = 0 -- точка максимума
x = 3 -- точка минимума