<u>Задание.</u> <span>Найдите множество значений функции y=2-cos</span>²<span>х ; y=3+cos</span>²<span> х.
Решение:Область значений функции cos</span>²x - промежуток [0;1]. Оценим в виде двойного неравенства
![0 \leq \cos^2x \leq 1\,\, |\cdot(-1)\\ -1 \leq -\cos^2x \leq 0\,\, |+2\\ \\ 1 \leq 2-\cos^2x \leq 2](https://tex.z-dn.net/?f=0+%5Cleq+%5Ccos%5E2x+%5Cleq+1%5C%2C%5C%2C+%7C%5Ccdot%28-1%29%5C%5C+-1+%5Cleq+-%5Ccos%5E2x+%5Cleq+0%5C%2C%5C%2C+%7C%2B2%5C%5C+%5C%5C+1+%5Cleq+2-%5Ccos%5E2x+%5Cleq+2)
Множество значений функции y=2-cos²x:
![E(y)=[1;2].](https://tex.z-dn.net/?f=E%28y%29%3D%5B1%3B2%5D.)
Аналогично для функции
![3+\cos^2x](https://tex.z-dn.net/?f=3%2B%5Ccos%5E2x)
:
![0 \leq \cos^2x \leq 1\,\,\, |+3\\ \\ 3 \leq 3+\cos^2x \leq 4](https://tex.z-dn.net/?f=0+%5Cleq+%5Ccos%5E2x+%5Cleq+1%5C%2C%5C%2C%5C%2C+%7C%2B3%5C%5C+%5C%5C+3+%5Cleq+3%2B%5Ccos%5E2x+%5Cleq+4)
Область значений:
![E(y)=[3;4].](https://tex.z-dn.net/?f=E%28y%29%3D%5B3%3B4%5D.)
3(2а-5) -4(1-3а) +5а
Для начала раскороем скобки
6а-15-4+12а + 5а
Теперь приводим к подобным слагаемым
23а-19
1)<u>Найдем производную и приравняем ее к нулю:</u>
![y'= ((x+1)^{2})'(x+5)^{2}+(x+1)^{2}((x+5)^{2})'=2(x+1)(x+5)^{2}+2(x+5)(x+1)^{2}=2(x+1)(x+5)*(x+5+x+1)=2(x+1)(x+5)(2x+6)=0](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%3D+%28%28x%2B1%29%5E%7B2%7D%29%27%28x%2B5%29%5E%7B2%7D%2B%28x%2B1%29%5E%7B2%7D%28%28x%2B5%29%5E%7B2%7D%29%27%3D2%28x%2B1%29%28x%2B5%29%5E%7B2%7D%2B2%28x%2B5%29%28x%2B1%29%5E%7B2%7D%3D2%28x%2B1%29%28x%2B5%29%2A%28x%2B5%2Bx%2B1%29%3D2%28x%2B1%29%28x%2B5%29%282x%2B6%29%3D0)
![x=-1](https://tex.z-dn.net/?f=x%3D-1)
![x=-5](https://tex.z-dn.net/?f=x%3D-5)
2) <u>Определим знаки производной на промежутках:</u>
Положительная при x∈(-5;-3)U(-1;+бесконечность)
Отрицательная при x∈(-бесконечность; -5)U(-3;-1)
Где производная положительная - функция возрастает
Где производная отрицательная - функция убывает
3)<u>Найдем точки максимума и минимума</u>:
х=-5 - точка минимума
х=-3 - точка максимумах=-1 - точка минимума