ПРИМЕНИМ МЕТОД ЛАГРАНЖАНайдем решение однородного уравнения следующего вида
![y''+y=0](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%27%2By%3D0)
Воспользуемся методом Эйлера.
Пусть
![y=e^{kx}](https://tex.z-dn.net/?f=y%3De%5E%7Bkx%7D)
, тогда имеем характеристическое уравнение
![k^2+1=0\\ k=\pm i](https://tex.z-dn.net/?f=k%5E2%2B1%3D0%5C%5C+k%3D%5Cpm+i)
Тогда общее решение однородного уравнения:
![y_o=C_1\cos x+C_2\sin x](https://tex.z-dn.net/?f=y_o%3DC_1%5Ccos+x%2BC_2%5Csin+x)
2) Определим функции
![C_1(x)](https://tex.z-dn.net/?f=C_1%28x%29)
и
![C_2(x)](https://tex.z-dn.net/?f=C_2%28x%29)
из решения след. системы :
![\displaystyle \left \{ {{C_1'(x)\cos x+C_2'(x)\sin x=0} \atop {-C_1'(x)\sin x+C_2'(x)\cos x=ctg x}} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle++%5Cleft+%5C%7B+%7B%7BC_1%27%28x%29%5Ccos+x%2BC_2%27%28x%29%5Csin+x%3D0%7D+%5Catop+%7B-C_1%27%28x%29%5Csin+x%2BC_2%27%28x%29%5Ccos+x%3Dctg+x%7D%7D+%5Cright.+)
Решим эту систему методом Крамера
![\det(X)= \left|\begin{array}{ccc}\cos x&& \sin x\\ -\sin x&& \cos x\end{array}\right|=\cos^2x+\sin^2x=1\\ \\ \det(X_1)= \left|\begin{array}{ccc}0&& \sin x\\ ctgx&& \cos x\end{array}\right|=-ctgx*\sin x=-\cos x\\ \\ \det(X_2)= \left|\begin{array}{ccc}\cos x&& 0\\ -\sin x&& ctg x\end{array}\right|=\cos x*ctg x](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdet%28X%29%3D++%5Cleft%7C%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D%5Ccos+x%26%26+%5Csin+x%5C%5C+-%5Csin+x%26%26+%5Ccos+x%5Cend%7Barray%7D%5Cright%7C%3D%5Ccos%5E2x%2B%5Csin%5E2x%3D1%5C%5C+%5C%5C+%5Cdet%28X_1%29%3D++%5Cleft%7C%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D0%26%26+%5Csin+x%5C%5C+ctgx%26%26+%5Ccos+x%5Cend%7Barray%7D%5Cright%7C%3D-ctgx%2A%5Csin+x%3D-%5Ccos+x%5C%5C+%5C%5C+%5Cdet%28X_2%29%3D++%5Cleft%7C%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D%5Ccos+x%26%26+0%5C%5C+-%5Csin+x%26%26+ctg+x%5Cend%7Barray%7D%5Cright%7C%3D%5Ccos+x%2Actg+x)
Тогда
![C_1'(x)= \dfrac{\det(X)}{\det(X_1)} =-\cos x\\ \\ \\ C_2'(x)= \dfrac{\det(X)}{\det(X_2)} =\cos x*ctg x](https://tex.z-dn.net/?f=C_1%27%28x%29%3D+%5Cdfrac%7B%5Cdet%28X%29%7D%7B%5Cdet%28X_1%29%7D+%3D-%5Ccos+x%5C%5C+%5C%5C+%5C%5C+C_2%27%28x%29%3D+%5Cdfrac%7B%5Cdet%28X%29%7D%7B%5Cdet%28X_2%29%7D+%3D%5Ccos+x%2Actg+x)
Интегрируя обе части уравнения, имеем
![\displaystyle \left \{ {{C_1=-\sin x+C_1} \atop {C_2=\cos x-\ln|ctg x+ \frac{1}{\sin x}|+C_2 }} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle++%5Cleft+%5C%7B+%7B%7BC_1%3D-%5Csin+x%2BC_1%7D+%5Catop+%7BC_2%3D%5Ccos+x-%5Cln%7Cctg+x%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csin+x%7D%7C%2BC_2+%7D%7D+%5Cright.+)
Общее решение неоднородного:
![\boxed{y=C_1\cos x+C_2\sin x-\sin x\ln |ctg \frac{x}{2} |}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cboxed%7By%3DC_1%5Ccos+x%2BC_2%5Csin+x-%5Csin+x%5Cln+%7Cctg+%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D+%7C%7D)
1
а)-3
б)-1
в)0
г)1
2
а)-3
б)-2,5;1;3,5
в)-2;-0,5
3
наиб 3
наим -3
4
[-3;3]
2
а)g(2)=4*2-1=7
g(8)=4*8-1=31
g∈[7;31]
б)h(-3)=5-6*(-3)=23
h(4)=5-6*4=-19
h∈[-19;23]