Question

В прямоугольном треугольнике расстояние от точки пересечения медиан до гипотенузы равно 2 см, а высота, проведенная к гипотенузе, делит ее в отношении 9:1. Найти стороны треугольника.

Answer 1

В точке пересечения медиана делиться в отношений $2:1$ , пусть $C=90а$ 
 $CN$ высота    , $CO$ медиана    . 
 $a;b$ катеты ,  $c=\sqrt{a^2+b^2}$ гипотенуза .  
Положим сто точка пересечения  медиан треугольников   $L$        
  $CO=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}\\ LO=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{3}$ 
  $CL=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{6}\\ CN=\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$ 
 Из подобия треугольников     
  $OLH;\\ OCN$          $H$  расстояние 
   $\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{6} = \frac{\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}}{\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}}$ 
  $a^2-\frac{9\sqrt{a^2+b^2}}{10} = b^2-\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{10}$ 
 получим 
$a=\frac{3}{2}(\sqrt{13}-1)\\ b=\frac{1}{2}(\sqrt{13}-1)$ 
  Тогда гипотенуза 
  $\sqrt{0.5(61-\sqrt{13})}$