Question

1) Правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 8 см,а боковое ребро составляет с плоскостью основания 45(градусов). Найти S(полн).
2)Правильной треугольной пирамиде апофема равна 4 см, а сторона основания 8 см. Найти S(полн) и угол бокового ребра с плоскостью основания.

Answer 1

Следите за построением

1. Так как по условию ПРАВИЛЬНЫЙ четырёхугольная пирамида, то в основе лежит квадрат. Обозначим этот четырёхугольник через ABCD. S - вершина пирамиды.Проведем диагонали квадрата АС и BD, и пересекаются они в точке О. угол SAO=45градусов(по условию), треугольник AOS - прямоугольный равнобедренный (AO=SO). Диагональ $AC=AB\sqrt{2}=8\sqrt{2}$ см
$AO= \frac{AC}{2} =4\sqrt{2}$ см
$AO=OS=4\sqrt{2}$ см

Площадь основания: $S_o=AB^2=8^2=64$ см²
Площадь боковой поверхности: $S_b= \frac{P_o\cdot h}{2} =64 \sqrt{3}$ см²

Площадь полной поверхности: 
Sп=$S_o+S_b=64+64\sqrt{3}=64(1+\sqrt{3})$ см²

Ответ: $64(1+\sqrt{3})$ см²

2. В основе лежит правильный треугольник ABC. S - вершина пирамиды.

Площадь основания: $S_o= \frac{AB^2 \sqrt{3} }{4} =16 \sqrt{3}$ см²
Площадь боковой: $S_b= \frac{1}{2} \cdot P_o\cdot h= \frac{1}{2} \cdot 32\cdot 4=64$ см²

Sп=$S_o+S_b=16 \sqrt{3} +64=16( \sqrt{3} +4)$ см²

По определению радиуса вписанной окружности 
$r= \frac{a}{2 \sqrt{3} } = \frac{4 \sqrt{3} }{3}$ см
С прямоугольного треугольника SOM(точка М лежит на стороне ВС)
$SO= \sqrt{4^2-(\frac{4 \sqrt{3} }{3})^2} =\frac{4 \sqrt{6} }{3}$ см

С прямоугольного треугольника COS(угол SOC = 90 градусов)
котангенс - отношение прилежащего катета к противолежащему катету
$ctg\,SCO= \frac{4 \sqrt{3} }{4 \sqrt{6} } = \frac{1}{ \sqrt{2} } \\ SCO=45а$

Ответ: $16( \sqrt{3} +4)$ см² и $45а$