√27·⁵√243 -3¹/² =√27·(3⁵)¹/⁵ -3¹/²=3√3·3 -√3=√3(9-1)=8√3;
[3^(-5/3)·81^(3/4)]/∛3=3^(-5/3-1/3)·(3⁴)^(3/4)=3^(-5/3-1/3+3·4/4)=
=3^(-2+3)=3¹=3;
Треугольник ABC, AB=BC, O - центр окружности, BD=H - высота, треугольник AOD прямоугольный, AO=R, AD=a/2 - половина основания, OD=|H-R| (если угол B острый, то OD=H-R, если тупой, то R-H; на решении это не скажется, так как |H-R|^2=|R-H|^2=(H-R)^2).
По теореме Пифагора R^2=(a/2)^2+(H-R)^2;
![\frac{a}{2}=\sqrt{R^2-(H-R)^2}=\sqrt{2HR-H^2};](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Ba%7D%7B2%7D%3D%5Csqrt%7BR%5E2-%28H-R%29%5E2%7D%3D%5Csqrt%7B2HR-H%5E2%7D%3B)
![S=\frac{aH}{2}=\sqrt{2H^3R-H^4};](https://tex.z-dn.net/?f=S%3D%5Cfrac%7BaH%7D%7B2%7D%3D%5Csqrt%7B2H%5E3R-H%5E4%7D%3B)
![S'=\dfrac{6H^2R-4H^3}{2\sqrt{2H^3R-H^4}};](https://tex.z-dn.net/?f=S%27%3D%5Cdfrac%7B6H%5E2R-4H%5E3%7D%7B2%5Csqrt%7B2H%5E3R-H%5E4%7D%7D%3B)
S'=0;
![6H^2R-4H^3=0; 2H^2(3R-2H)=0;](https://tex.z-dn.net/?f=6H%5E2R-4H%5E3%3D0%3B+2H%5E2%283R-2H%29%3D0%3B+)
При H=0 получается вырожденный треугольник с нулевой площадью (это минимальное значение H), при H=2R получается вырожденный треугольник с нулевой площадью), значит, при H=3R/2 площадь будет максимальной.
Ответ: H=3R/2