Question

Решить неравенство............

Answer 1

Log_(2^x -2)²   4(2^2x -5*2^x +6) +  Log_(2^x -2)²  (1/4)*(2^2x -7*2^x +10) ≥3/2; 

замена: t =2^x >0 , если  ( t -2)² ≠ 0  и  (t -2)²   ≠ 1   т .е .   t   ≠ 1 ; 2  ; 3
 (0) //////// (1 ) ///////// (2) ///////// (3) //////////////
Log_(t -2)²    4(t -2)*t -3) +  Log_(t-2)²   (1/4)*(t -2)*(t - 5) ≥  3/2 ;
 добавляем  еще ограничения : 
{ (t -2)*t -3)  > 0 ; (t -2)*(t - 5) >0⇔   t  ∈ (- ∞ ; 2) U (5 ;∞) .
В итоге   для переменной  t = 2^x   :
(0 )////////////////////// (1) /////////// (2) ------------- (5) ////////////////         *  * *  ОДЗ  t  * * *
Log_(t -2)²    (t -2)²*t -3) *(t - 5) ≥  3/2 ;
1+Log_(t -2)²    (t - 3) *(t - 5) ≥  3/2 ;
Log_(t -2)²   (t - 3)*(t  - 5) ≥  1/2 ;     

a)     0< (t -2)² <1  ⇔  { t ≠2  ; -1< t -2 < 1   ⇔ {  t ≠2  ; 1< t <3  .    
учитывая  t < 2  , получаем   1 < t  < 2 . 
---
(t -3)*(t - 5) ≤ √(t -2)²   ;
t² -8t +15  ≤ | t -2 |  ;
t² -8t +15  ≤ 2  - t  ;
t² -7t +13  ≤0
(t -7/2)² +3 /4 ≤ 0  ⇒ t ∈ ∅  ⇔ x  ∈ ∅ .
* * *
b)  (t -2)² >1 ⇔  (t -1)*(t  -3) >0   ⇔   t  ∈ (-∞; 1) U (3 ;  ∞)
учитывая  ОДЗ :   t  ∈ (0; 1) U  (5 ;  ∞) .
{ t ²-8t +1 5 ≥ | t -2 | ;
b₁)  t  ∈ (0; 1) .           
t ²-8t +15 ≥ 2-t ;
t ²-7t +13 ≥0  ⇔ (t -7/2)²t +19/4  ≥ 0   для  всех   t  ∈ (0; 1) ;
⇔0 <2^ x <1  ⇒ 2^ (x )  < 2⁰     ⇔  x  ∈ ( - ∞ ; 0) .
b₂) t  ∈ (5; ∞) .
 t ²-8t +15 ≥ t  - 2  ;
 t ²- 9t +17  ≥ 0   ;  t  ∈ ( -∞ ; (9 -√17) /2]  U [ (9 +√17) /2 ; ∞ ) ; 
учитывая и  t  ∈ (5; ∞) получаем   t  ∈  [ (9 +√17) /2 ; ∞ ) 
  ⇒ 2^ (x ) ≥ (9 +√17) /2   ⇔  x  ∈ [ Log_2   (9 +√17) /2 ;  ∞ ) . 

ответ :  x  ∈ ( - ∞ ; 0 U  [ Log_2   (9 +√17) /2 ;  ∞ ) .