Из уравнения х² - 3х - 2 = 0 по теореме Виета имеем:
{x₁ + x₂ = 3
{x₁ * x₂ = - 2
Найти
1) Упростим
2) По теореме Виета
Отсюда
3) Осталось найти (х₁⁴ + х₂⁴), для этого воспользуется первым уравнением теоремы Виета
х₁ + х₂ = 3
Возведём обе части в четвёртую степень:
Так как х₁*х₂ = -2, вместо произведения х₁х₂ подставим (-2) и получим:
4) Наконец, получим:
Рассмотрим это уравнение подробнее. Т.к. каждая скобка стоит в чётной степени, то она не может быть отрицательная. Чтобы два неотрицательных выражения давали в сумме 0, нужно чтобы каждое из них обращалось в ноль. Запишем систему:
Составляем систему:
решаем каждое неравенство по отдельности:
используем метод интервалов(см. приложение 1)
решаем 2 неравенство:
используем метод интервалов(см. приложение 2)
пересекаем множества решений этих двух неравенств:
наибольшее целое отрицательное: -2
Ответ: -2