Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, где АС -- наклонная, АВ -- перпендикуляр, ВС -- проекция наклонной.
ВС=8√3 -- как катет, лежащий против угла 30°
АВ²=АС²- ВС²= (16√3)²-(8√3)²=576
АВ=24
обозначим точку пересечения высоты с АD как F
Тогда треугольник АFB - прямоугольный и угол АВF равен 45, тогда угол BFA=90-45=45, т.е. треугольник равнобедренный с основанием АВ.
Тогда AF=FB=AD-FD=5-3=2см
Площадь ABCD= высота Х основание = AD* BF=5*2=10 кв. см
Ответ: 10 кв.см
Радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата, то есть
![\boxed{r= \dfrac{a}{2} = \dfrac{16}{2} =8}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cboxed%7Br%3D+%5Cdfrac%7Ba%7D%7B2%7D+%3D+%5Cdfrac%7B16%7D%7B2%7D+%3D8%7D)
Центр окружности лежит на середине диагонали квадрата, то есть, радиус описанной окружности будет в 2 раза меньше за диагональ(или можно считать что диагональ квадрата - диаметр окружности)
![\boxed{R= \frac{d}{2}= \frac{16\sqrt{2}}{2} =8\sqrt{2}}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cboxed%7BR%3D+%5Cfrac%7Bd%7D%7B2%7D%3D+%5Cfrac%7B16%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D+%3D8%5Csqrt%7B2%7D%7D)
1) Тут все даже не просто, а ООООЧЧЧЧЕНЬ просто.
Если P - точка пересечения BM и AD, то BP/PM = AB/AM = AB/(AC/2) = 5/2;
2) Тут немного сложнее, но тоже не слишком.
Пусть MK II BC; точка K лежит на AD.
Тогда KD = AD/2; KM/DC = 1/2;
треугольники BPD и KPM подобны, то есть KM/BD = KP/DP;
по условию BD = DC*5/4; то есть KM/BD = KM/(DC*5/4) = 2/5;
то есть KP/DP = 2/5; KP + DP = AD/2;
если считать, что KP = 2*x; то DP = 5*x; AD/2 = 7*x; AD = 14*x; AP = AD - DP = 14*x - 5*x = 9*x; откуда AP/PD = 9/5; вроде так.