Question

Помогите исследовать функцию

Answer 1

Y=1/3*x²-x
D(y)∈(-∞;∞)
y(-x)=-1/3*x³+x=-(1/3*x³-x) нечетная,значит симметричная началу координат
x=0    y=0
y=0    x(1/3*x²-1)=0  x=0  x=-√3  x=√3
(0;0);(-√3;0);(√3;0)-точки пересечения с осями
y`=x²-1=0
x=-1  x=1
           +            _                  +
-------------(-1)------------(1)-----------------
возр        max  убыв  min  возр
ymax=2/3
ymin=-2/3
y``=2x=0
x=0
                 _                      +
-------------------(0)----------------------
выпук вверх        вогнута вниз
(0;0)-точка перегиба

Answer 2

$y= \frac{1}{3} x^3-x$  (см. график функции, первая картинка)

1) Найдём производную функции:
$y'=(\frac{1}{3} x^3)'-(x)'=x^2-1$

2) Приравняем значение производной к нулю, решим уравнение, и найдем экстремумы функции:
$x^2-1=0 \\ x^2=1 \\ x=б1$

3) Нанесём на числовую прямую найденные точки  $-1$  и  $1$.  (см. рисунок, вторая картинка)
Выясним знаки производной на каждом промежутке.
Там где знак плюс, значит функция возрастает, где минус - убывает. Видно по графику, что $y$ ↑  при  $x\in(-\infty;-1)\text{ U }(1;+\infty)$   и  $y$ ↓  при $x\in(-1;1)$.   (Это как раз ответ на вопрос омонотонности).
Где знак переходит из плюса в минус, эта точка будет точкой максимума. В нашем случае эта точка $(-1;0)$
Где - из минуса в плюс, значит это точка минимума. ($(1;0)$) 

Ответ:  1) точки экстремума  $(-1;0)$  и  $(1;0)$;
              2) $y$ ↑  при  $x\in(-\infty;-1)\text{ U }(1;+\infty)$;
                  $y$ ↓  при $x\in(-1;1)$.