а) Вычислим производную функции
![f'(x)=\Big(\dfrac{1}{3}x^3-x^2+6\Big)'=\dfrac{1}{3}\cdot 3x^2-2x=x^2-2x](https://tex.z-dn.net/?f=f%27%28x%29%3D%5CBig%28%5Cdfrac%7B1%7D%7B3%7Dx%5E3-x%5E2%2B6%5CBig%29%27%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Ccdot%203x%5E2-2x%3Dx%5E2-2x)
И приравниваем ее к нулю
![x^2-2x=0\\ x(x-2)=0\\ x_1=0\\ x_2=6](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2-2x%3D0%5C%5C%20x%28x-2%29%3D0%5C%5C%20x_1%3D0%5C%5C%20x_2%3D6)
Найдем наибольшее и наименьшее значение функции
![f(0)=\dfrac{1}{3}\cdot 0^3-0^2+6=6\\ \\ f(2)=\dfrac{1}{3}\cdot 2^3-2^2+6=\dfrac{14}{3}~~~-\max](https://tex.z-dn.net/?f=f%280%29%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Ccdot%200%5E3-0%5E2%2B6%3D6%5C%5C%20%5C%5C%20f%282%29%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Ccdot%202%5E3-2%5E2%2B6%3D%5Cdfrac%7B14%7D%7B3%7D~~~-%5Cmax)
Наибольшее значение функции равно 6,а наименьшее —
.
б) Аналогично вычислим производную функции
![f'(x)=\Big(x^2\ln x\Big)'=\Big(x^2\Big)'\cdot \ln x+x^2\cdot \Big(\ln x\Big)'=2x\ln x+x^2\cdot\dfrac{1}{x}=x(2\ln x+1)](https://tex.z-dn.net/?f=f%27%28x%29%3D%5CBig%28x%5E2%5Cln%20x%5CBig%29%27%3D%5CBig%28x%5E2%5CBig%29%27%5Ccdot%20%5Cln%20x%2Bx%5E2%5Ccdot%20%5CBig%28%5Cln%20x%5CBig%29%27%3D2x%5Cln%20x%2Bx%5E2%5Ccdot%5Cdfrac%7B1%7D%7Bx%7D%3Dx%282%5Cln%20x%2B1%29)
Приравниваем производную функции к нулю
![x(2\ln x+1)=0\\ x_1=0\\ \\ 2\ln x+1=0~~~\Rightarrow~~~ \ln x=-0.5~~~\Rightarrow~~~ x_2=e^{-0.5}=\dfrac{1}{\sqrt{e}}](https://tex.z-dn.net/?f=x%282%5Cln%20x%2B1%29%3D0%5C%5C%20x_1%3D0%5C%5C%20%5C%5C%202%5Cln%20x%2B1%3D0~~~%5CRightarrow~~~%20%5Cln%20x%3D-0.5~~~%5CRightarrow~~~%20x_2%3De%5E%7B-0.5%7D%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Be%7D%7D)
Корни
и
не принадлежат отрезку ![[1;e].](https://tex.z-dn.net/?f=%5B1%3Be%5D.)
Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на концах отрезка
![f(1)=1^2\cdot \ln 1=0~~~-\min\\ f(e)=e^2\ln e=e^2~~~-\max](https://tex.z-dn.net/?f=f%281%29%3D1%5E2%5Ccdot%20%5Cln%201%3D0~~~-%5Cmin%5C%5C%20f%28e%29%3De%5E2%5Cln%20e%3De%5E2~~~-%5Cmax)
Наибольшее значение функции равно e², а наименьшее — 0.
a-длина
в-ширина
а+в=7
в=7-а
а^2+(7-a)^2=25
a^2+49-14a+a^2=25
2a^2+24-14a=0
a1=3 a2=4
b1=4 b2=3
А) -6(m^2-16) или 96-6m^2
b) 25a^4-b^2-25a^4=-b^2
c) 0,36n^2-(0,36n^2-n^4)=n^4