Question

Алгебра, задача на вероятность

Answer 1

$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}0\; ,\; x<0\; ,\\\frac{1}{4}\; ,\; 0<x<4\; ,\\0\; ,\; x>4\; .\end{array}\right \\\\1)F(x)=\int\limits^{x}_{-\infty }\, f(t)\, dt\\\\a)\; x<0:\; \; F(x)=\int\limits_{-\infty }^{0}\, 0\cdot dt=0\\\\b)\; \; 0<x<4\; :\; F(x)=\int\limits^0_ {-\infty }\, 0\cdot dt+\int\limits_0^{x}\, \frac{1}{4}\, dt=\frac{1}{4}\cdot t\Big |_0^{x}=\frac{x}{4}$

$c)\; \; x>4\; :\; \; F(x)=\int\limits^0_{-\infty }\, 0\cdot dt+\int\limits^4_0\, \frac{1}{4}\, dt+\int\limits^{x}_4\, 0\cdot dt=\frac{1}{4}\cdot t\Big |_0^4=1\\\\F(x)=\left\{\begin{array}{ccc}0\; ,\; x<0\; ,\\\frac{1}{4}\cdot x\; ,\; 0<x<4\; , \\1\; \; ,\; x>4\; .\end{array}\right$

$2)\; \; P(X>3)=F(3)-F(-\infty )=\frac{3}{4}-0=\frac{3}{4}\\\\P(\frac{1}{4}<X<\frac{7}{4})=F(\frac{7}{4})-F(\frac{1}{4})=\frac{1}{4}\cdot (\frac{7}{4}-\frac{1}{4})=\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{8}\\\\3)\; \; M(X)=\int\limits^a_bx}\cdot f(x)\, dx=\int\limits^4_0\, x\cdot \frac{1}{4}\, dx=\frac{1}{4}\cdot \frac{x^2}{2}\Big |_0^4=\frac{1}{8}\cdot (16-0)=2\\\\D(X)=\int\limits^a_b\, x^2\cdot f(x)\, dx-M^2(X)=\int\limits^4_0\, \frac{1}{4}\cdot x^2\, dx-2^2=\\\\=\frac{1}{4}\cdot \frac{x^3}{3}\Big |_0^4-4=\frac{16}{3}-4=\frac{4}{3}$