Question

Задание повышенной сложности, 11 класс. Уравнение имеет один корень, найдите его.

Answer 1

2²ˣ + 5ˣ * 2ˣ - 5²ˣ = 0
нужно разделить равенство на любое из двух присутствующих в уравнении оснований в старшей степени:
или на 2²ˣ или на 5²ˣ (оба эти числа ≠0)
разделим на 5²ˣ, получим: 
(2/5)²ˣ + (2/5)ˣ - 1 = 0 квадратное уравнение относительно (2/5)ˣ > 0
D=1+4=5
(2/5)ˣ = (-1-√5)/2 < 0 посторонний корень 
(2/5)ˣ = (-1+√5)/2
х = log_(2/5) ( (√5-1)/2 )

Answer 2

$4^x+10^x=25^x|:25^x;~\frac{4^x}{25^x}+\frac{10^x}{25^x}=\frac{25^x}{25^x};~(\frac{4}{25})^x+(\frac{10}{25})^x=1;~\\(\frac{2}{5})^{2x}+(\frac{2}{5})^x=1;~(\frac{2}{5})^{2x}+(\frac{2}{5})^x-1=0;~[(\frac{2}{5})^x=a,a\ \textgreater \ 0]~a^2+a-1=\\=0;~D=1^2-4*(-1)=5;~a_{1,2}=\frac{-1б\sqrt{5}}{2}~\to\left[\begin{array}{ccc}a_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\\a_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\end{array}\right;~\\a_2 \notin ODZ~\to(\frac{2}{5})^x=a_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}~\to~x=\log_{\frac{2}{5}}(\sqrt{5}-1)-\log_{\frac{2}{5}}2$