Сначала выразим tg(3a) через tg(a)
![tg(2a)= \frac{2tg(a)}{1-tg^2(a)}](https://tex.z-dn.net/?f=tg%282a%29%3D+%5Cfrac%7B2tg%28a%29%7D%7B1-tg%5E2%28a%29%7D+)
![tg(3a)=tg(a+2a)= \frac{tg(a)+tg(2a)}{1-tg(a)*tg(2a)} = \frac{tg(a)+2tg(a)/(1-tg^2(a))}{1-tg(a)*2tg(a)/(1-tg^2(a))} =](https://tex.z-dn.net/?f=tg%283a%29%3Dtg%28a%2B2a%29%3D+%5Cfrac%7Btg%28a%29%2Btg%282a%29%7D%7B1-tg%28a%29%2Atg%282a%29%7D+%3D+%5Cfrac%7Btg%28a%29%2B2tg%28a%29%2F%281-tg%5E2%28a%29%29%7D%7B1-tg%28a%29%2A2tg%28a%29%2F%281-tg%5E2%28a%29%29%7D+%3D)
![=\frac{tg(a)(1-tg^2(a))+2tg(a)}{1-tg^2(a)-tg(a)*2tg(a)} =\frac{tg(a)-tg^3(a)+2tg(a)}{1-tg^2(a)-2tg^2(a)}=tg(a)* \frac{3-tg^2(a)}{1-3tg^2(a)}](https://tex.z-dn.net/?f=%3D%5Cfrac%7Btg%28a%29%281-tg%5E2%28a%29%29%2B2tg%28a%29%7D%7B1-tg%5E2%28a%29-tg%28a%29%2A2tg%28a%29%7D+%3D%5Cfrac%7Btg%28a%29-tg%5E3%28a%29%2B2tg%28a%29%7D%7B1-tg%5E2%28a%29-2tg%5E2%28a%29%7D%3Dtg%28a%29%2A+%5Cfrac%7B3-tg%5E2%28a%29%7D%7B1-3tg%5E2%28a%29%7D+)
Получили
![tg(3a)=tg(a)* \frac{3-tg^2(a)}{1-3tg^2(a)}](https://tex.z-dn.net/?f=tg%283a%29%3Dtg%28a%29%2A+%5Cfrac%7B3-tg%5E2%28a%29%7D%7B1-3tg%5E2%28a%29%7D+)
Мы знаем, что tg(a) - целое. Если tg(3a) тоже целое, то
3-tg^2(a) делится нацело на 1-3tg^2(a).
Ясно, что при tg a = 0 будет tg 3a = 0
Далее, например, при tg(a) = 1 получаем
tg(3a) = 1*(3 - 1)/(1 - 3)= 1*2/(-2) = -1
А при tg(a) = -1 получаем
tg(3a) = -1*(3 - 1)/(1 - 3) = (-1)*2/(-2) = 1
Но уже при tg(a) = 2 мы получаем
tg(3a) = 2*(3 - 4)/(1 - 3*4) = 2*(-1)/(-11) = 2/11
Соответственно, при tg(a) = -2 мы получим tg(3a) = -2/11.
Это уже нецелые значения, и ни при каких других а целых не будет.
Ответ: (0; 0); (1; -1); (-1; 1)