Question

Биссектрисы углов A и B при боковой трапеции ABCD пересекаются в точке F. Биссектрисы углов C и D при боковой стороне CD пересек

аются в точке G. Найдите FG, если средняя линия трапеции равна 21, боковые стороны- 13 и 15.

Answer 1

Пусть основания a и b известно, что a + b = 21*2 = 42

Представьте, что у трапеции боковые стороны такие же 13 и 15 и углы при основаниях такие же, но основания КОРОЧЕ, таким образом, что биссектрисы всех 4 углов пресекаются в одной точке. В этом случае сумма оснований равна сумме боковых сторон, поскольку в такую трапецию можно вписать окружность. Ясно, что если верхнее основание короче на х, то и нижнее - тоже на х (вобщем-то мы так и строили эту трапецию, просто отсекли её от первоначальной с помощью прямой линии, параллельной боковой стороне). 

Таким образом, a - х + b - х = 13 + 15; 42 - 2*x = 28; x = 7;

Это и есть ответ. :)

Исходная трапеция получается просто если и верхнее и нижнее основания трапеции с боковыми сторонами 13 и 15 и основаниями a - 7 и b - 7 "удленить" на 7, точки пересечения биссектрис при этом раздвинуться на столько же. 

Я не стал объяснять, что точки пересечения биссектрис лежат на средней линии. Это очевидно, но на всякий случай поясню - точка пересечения 2 биссектрис - это центр окружности, касающейся боковой стороны и 2 параллельных оснований. Поэтому эта точка РАВНОУДАЛЕНА от оснований. 

Эту задачу я решал тут НЕСЧЕТНОЕ число раз, см например znanija.com/task/498270, я часть текста оттуда перенес.