Question

АВСD-квадрат со стороной 4 см. Треугольник АМВ имеет общую сторону АВ с квадратом, АМ=ВМ=2корень из 6 см. Плоскости треугольника

и квадрата взаимно перпедекулярные. 1) Докажите, что ВС перпедикулярна АМ. 2) Найдите угол между МС и плоскостью квадрата. 3) Найдите расстояние от А до плоскости DМС.

Answer 1

Опустим в треугольнике АМВ перпендикуляр МТ из точки М ,(Т лежит на АВ) 
так как АМ=ВМ МТ- медиана и АТ=ВТ=2 см, 
полупериметр АМВ=(2*2корень(6)+4)/2=2(корень(6)+1) 
по формуле Герона площадь треугольника АМВ равна: Корень(2(корень(6)+1)*2*2*2(корень(6)-1)=4корень(5) 
но лощадь треугольника АМВ равна:0,5*АВ*МТ=2МТ, а значит МТ=2корень(6) 
рассмотрим треугольник ВТС - прямоугольный, по теореме Пифагора: СТ=корень(16+4)=2корень(5) 
МТ перпендикулярна плоскости квадрата, а значит и перпендикулярна СТ, значит треугольник МСТ-прямоугольный, по тереме Пифагора: МС=корень(20+20)=2корень(10)