Пусть наш куб
![ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}](https://tex.z-dn.net/?f=ABCDA_%7B1%7DB_%7B1%7DC_%7B1%7DD_%7B1%7D)
имеет длину ребра
![1](https://tex.z-dn.net/?f=1)
, середина точка
![N](https://tex.z-dn.net/?f=N)
,
![N \in A_{1}D_{1}](https://tex.z-dn.net/?f=+N+%5Cin++A_%7B1%7DD_%7B1%7D)
так как самая удаленная вершина всегда будет симметрична , какую бы точку не взять на середине ребра данного куба , рассмотрим когда точка лежит , на ребре
Теперь надо понять как он должен двигаться , с начало в какую сторону , видно что самое удаленная вершина это точка
![B](https://tex.z-dn.net/?f=B)
, так же и другая есть симметричная ей
![C](https://tex.z-dn.net/?f=C)
, но будет рассматривать
![B](https://tex.z-dn.net/?f=B)
.
так как
![AB<BD](https://tex.z-dn.net/?f=+AB%3CBD)
то есть можно не рассматривать вариант когда паук ползет в сторону
![DD_{1}](https://tex.z-dn.net/?f=DD_%7B1%7D)
, рассмотрим вариант когда он ползет к стороне
![AA_{1}](https://tex.z-dn.net/?f=+AA_%7B1%7D)
, когда паук ползет к вершине
![A_{1}- >B](https://tex.z-dn.net/?f=+A_%7B1%7D-+%3EB)
, очевидно что расстояние равно
![\frac{1}{2}+\sqrt{2}=\frac{1+\sqrt{8}}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B%5Csqrt%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B1%2B%5Csqrt%7B8%7D%7D%7B2%7D)
, пусть есть некая точка
![x](https://tex.z-dn.net/?f=x)
, которая принадлежит
![AA_{1}](https://tex.z-dn.net/?f=+AA_%7B1%7D)
, по неравенству треугольников
выразим расстояние , когда паук ползет через точку
![x](https://tex.z-dn.net/?f=+x)
она равна
получили функцию
которая имеет критическую точку
![y=\frac{1}{3}](https://tex.z-dn.net/?f=+y%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D)
(находится через производную ) , минимум
![f(\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{13}}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=f%28%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%29+%3D+%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B13%7D%7D%7B2%7D)
, что меньше выше сказанного расстояния
Ответ Паук должен с начало придти к
![A_{1}x](https://tex.z-dn.net/?f=+A_%7B1%7Dx)
, потом к
![B](https://tex.z-dn.net/?f=B)
это есть кратчайшее расстояние